Theorem xlimpnfvlem1 40062

Description: The "only if" part of the biconditional in xlimmnf 40067. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfvlem1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
xlimpnfvlem1.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
xlimpnfvlem1.f	|- ( ph -> F : Z --> RR* )
xlimpnfvlem1.c	|- ( ph -> F~~>* +oo )
xlimpnfvlem1.x	|- ( ph -> X e. RR )

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfvlem1	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) )

Distinct variable groups:   j, F, k   j, M   j, X, k   j, Z, k   ph, j, k

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem xlimpnfvlem1

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocpnfordt 21019	. . . . . 6 |- ( X (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( X (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) )
3		xlimpnfvlem1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F~~>* +oo )
4		df-xlim 40045	. . . . . . . . 9 |- ~~>* = ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) )
5	4	breqi 4659	. . . . . . . 8 |- ( F~~>* +oo <-> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo )
6	3, 5	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo )
7		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k F
8		letopon 21009	. . . . . . . . 9 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) )
10	7, 9	lmbr3 39979	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo <-> ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ +oo e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
11	6, 10	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ +oo e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
12	11	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
13	2, 12	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
14		xlimpnfvlem1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
15	14	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR* )
16	11	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> +oo e. RR* )
17	14	ltpnfd 11955	. . . . 5 |- ( ph -> X < +oo )
18		ubioc1 12227	. . . . 5 |- ( ( X e. RR* /\ +oo e. RR* /\ X < +oo ) -> +oo e. ( X (,] +oo ) )
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> +oo e. ( X (,] +oo ) )
20		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( u = ( X (,] +oo ) -> ( +oo e. u <-> +oo e. ( X (,] +oo ) ) )
21		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( X (,] +oo ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( u = ( X (,] +oo ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( u = ( X (,] +oo ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) )
24	23	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( u = ( X (,] +oo ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) )
25	20, 24	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( u = ( X (,] +oo ) -> ( ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) <-> ( +oo e. ( X (,] +oo ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) ) )
26	25	rspcva 3307	. . . 4 |- ( ( ( X (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) -> ( +oo e. ( X (,] +oo ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) )
27	13, 19, 26	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) )
28		nfv 1843	. . . 4 |- F/ j ph
29		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ph
30	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) -> X e. RR* )
31		xlimpnfvlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
32	31	ffdmd 6063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : dom F --> RR* )
33	32	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. dom F ) -> ( F ` k ) e. RR* )
34	33	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
35	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) -> +oo e. RR* )
36		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) )
37	30, 35, 36	iocgtlbd 39798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) -> X < ( F ` k ) )
38	30, 34, 37	xrltled 39486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) ) -> X <_ ( F ` k ) )
39	38	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) -> X <_ ( F ` k ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) -> X <_ ( F ` k ) ) )
41	29, 40	ralimda 39326	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) ) )
42	41	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ZZ -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) ) ) )
43	28, 42	reximdai 3012	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. ( X (,] +oo ) ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) ) )
44	27, 43	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) )
45		xlimpnfvlem1.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
46		xlimpnfvlem1.z	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
47	46	rexuz3 14088	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) ) )
48	45, 47	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) ) )
49	44, 48	mpbird 247	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) X <_ ( F ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,]cioc 12176  ordTopcordt 16159  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030  ~~>*clsxlim 40044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xlim 40045

This theorem is referenced by:  xlimpnfv  40064