Theorem xlimpnfvlem2 40063

Description: The "if" part of the biconditional in xlimpnf 40068. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfvlem2.k	|- F/ k ph
xlimpnfvlem2.j	|- F/ j ph
xlimpnfvlem2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
xlimpnfvlem2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
xlimpnfvlem2.f	|- ( ph -> F : Z --> RR* )
xlimpnfvlem2.g	|- ( ph -> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfvlem2	|- ( ph -> F~~>* +oo )

Distinct variable groups:   x, k   j, F, k, x   j, M   j, Z, k   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   M( x, k)   Z( x)

Proof of Theorem xlimpnfvlem2

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 21009	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) )
3	2	elfvexd 6222	. . . . 5 |- ( ph -> RR* e. _V )
4		cnex 10017	. . . . . 6 |- CC e. _V
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC e. _V )
6		xlimpnfvlem2.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
7		xlimpnfvlem2.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8	7	uzsscn2 39708	. . . . . 6 |- Z C_ CC
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ CC )
10		elpm2r 7875	. . . . 5 |- ( ( ( RR* e. _V /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> RR* /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( RR* ^pm CC ) )
11	3, 5, 6, 9, 10	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( RR* ^pm CC ) )
12		pnfxr 10092	. . . . 5 |- +oo e. RR*
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> +oo e. RR* )
14		pnfnei 21024	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. u ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ u )
15	14	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. (ordTop ` <_ ) ) /\ +oo e. u ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ u )
16		xlimpnfvlem2.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ph
17		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j x e. RR
18	16, 17	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ph /\ x e. RR )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( x (,] +oo ) C_ u
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u )
21		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
22		xlimpnfvlem2.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ph
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k x e. RR
24	22, 23	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ph /\ x e. RR )
25		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( x (,] +oo ) C_ u
26	24, 25	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k j e. Z
28	26, 27	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z )
29	7	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
30	29	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
31	6	fdmd 39420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> dom F = Z )
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> dom F = Z )
33	30, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. dom F )
34	33	ad5ant134 1313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> k e. dom F )
35	34	adantl4r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> k e. dom F )
36		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( x (,] +oo ) C_ u )
37	36	adantl4r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( x (,] +oo ) C_ u )
38		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> x e. RR )
39		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> x e. RR* )
41	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> +oo e. RR* )
42		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ph )
43	29	ad4ant23 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> k e. Z )
44	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR* )
45	42, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> x < ( F ` k ) )
47	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : Z --> RR* )
48	47, 30	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
49	48	pnfged 39704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) <_ +oo )
50	49	ad5ant134 1313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ +oo )
51	40, 41, 45, 46, 50	eliocd 39730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( x (,] +oo ) )
52	51	ad5ant1345 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( x (,] +oo ) )
53	37, 52	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. u )
54	35, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ x < ( F ` k ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( x < ( F ` k ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
56	28, 55	ralimda 39326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
57	56	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
58	21, 57	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
59	58	3impb 1260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
60		xlimpnfvlem2.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
61	60	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
63	20, 59, 62	reximdd 39344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
64		xlimpnfvlem2.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
65	7	rexuz3 14088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
67	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
68	63, 67	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ u ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
69	68	rexlimdva2 39339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. (ordTop ` <_ ) ) /\ +oo e. u ) -> ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
71	15, 70	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. (ordTop ` <_ ) ) /\ +oo e. u ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
72	71	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
73	72	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
74	11, 13, 73	3jca 1242	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ +oo e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
75		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k F
76	75, 2	lmbr3 39979	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo <-> ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ +oo e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( +oo e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
77	74, 76	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo )
78		df-xlim 40045	. . . 4 |- ~~>* = ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) )
79	78	breqi 4659	. . 3 |- ( F~~>* +oo <-> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo )
80	79	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( F~~>* +oo <-> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) +oo ) )
81	77, 80	mpbird 247	1 |- ( ph -> F~~>* +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,]cioc 12176  ordTopcordt 16159  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030  ~~>*clsxlim 40044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xlim 40045

This theorem is referenced by:  xlimpnfv  40064