Theorem lnomul 27615

Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	|- X = ( BaseSet ` U )
lnomul.5	|- R = ( .sOLD ` U )
lnomul.6	|- S = ( .sOLD ` W )
lnomul.7	|- L = ( U LnOp W )

Assertion

Ref	Expression
lnomul	|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( T ` ( A R B ) ) = ( A S ( T ` B ) ) )

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) )
2		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> A e. CC )
3		simprr 796	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> B e. X )
4		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> U e. NrmCVec )
5		lnomul.1	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
7	5, 6	nvzcl 27489	. . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> ( 0vec ` U ) e. X )
8	4, 7	syl 17	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( 0vec ` U ) e. X )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
12		lnomul.5	. . . 4 |- R = ( .sOLD ` U )
13		lnomul.6	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` W )
14		lnomul.7	. . . 4 |- L = ( U LnOp W )
15	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 27609	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X /\ ( 0vec ` U ) e. X ) ) -> ( T ` ( ( A R B ) ( +v ` U ) ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
16	1, 2, 3, 8, 15	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( T ` ( ( A R B ) ( +v ` U ) ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
17	5, 12	nvscl 27481	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X ) -> ( A R B ) e. X )
18	4, 2, 3, 17	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( A R B ) e. X )
19	5, 10, 6	nv0rid 27490	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A R B ) e. X ) -> ( ( A R B ) ( +v ` U ) ( 0vec ` U ) ) = ( A R B ) )
20	4, 18, 19	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( ( A R B ) ( +v ` U ) ( 0vec ` U ) ) = ( A R B ) )
21	20	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( T ` ( ( A R B ) ( +v ` U ) ( 0vec ` U ) ) ) = ( T ` ( A R B ) ) )
22		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
23	5, 9, 6, 22, 14	lno0 27611	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) )
25	24	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) )
26		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> W e. NrmCVec )
27	5, 9, 14	lnof 27610	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
29	28, 3	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( T ` B ) e. ( BaseSet ` W ) )
30	9, 13	nvscl 27481	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmCVec /\ A e. CC /\ ( T ` B ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( A S ( T ` B ) ) e. ( BaseSet ` W ) )
31	26, 2, 29, 30	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( A S ( T ` B ) ) e. ( BaseSet ` W ) )
32	9, 11, 22	nv0rid 27490	. . . 4 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( A S ( T ` B ) ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( A S ( T ` B ) ) )
33	26, 31, 32	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( 0vec ` W ) ) = ( A S ( T ` B ) ) )
34	25, 33	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( ( A S ( T ` B ) ) ( +v ` W ) ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( A S ( T ` B ) ) )
35	16, 21, 34	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( A e. CC /\ B e. X ) ) -> ( T ` ( A R B ) ) = ( A S ( T ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   LnOp clno 27595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  27648  nmblolbii  27654  blocnilem  27659  ubthlem2  27727