Theorem lsmub2x 18062

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	|- B = ( Base ` G )
lsmless2.s	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
lsmub2x	|- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) -> U C_ ( T .(+) U ) )

Proof of Theorem lsmub2x

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 17346	. . . . . 6 |- ( T e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
2	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> G e. Mnd )
3		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) -> U C_ B )
4	3	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> x e. B )
5		lsmless2.v	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8	5, 6, 7	mndlid 17311	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x )
9	2, 4, 8	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x )
10	5	submss 17350	. . . . . 6 |- ( T e. (SubMnd ` G ) -> T C_ B )
11	10	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> T C_ B )
12		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> U C_ B )
13	7	subm0cl 17352	. . . . . 6 |- ( T e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. T )
14	13	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> ( 0g ` G ) e. T )
15		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> x e. U )
16		lsmless2.s	. . . . . 6 |- .(+) = ( LSSum ` G )
17	5, 6, 16	lsmelvalix 18056	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ T C_ B /\ U C_ B ) /\ ( ( 0g ` G ) e. T /\ x e. U ) ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) e. ( T .(+) U ) )
18	2, 11, 12, 14, 15, 17	syl32anc 1334	. . . 4 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) e. ( T .(+) U ) )
19	9, 18	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) /\ x e. U ) -> x e. ( T .(+) U ) )
20	19	ex 450	. 2 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) -> ( x e. U -> x e. ( T .(+) U ) ) )
21	20	ssrdv 3609	1 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U C_ B ) -> U C_ ( T .(+) U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsmub2  18072