Theorem lssssr 18953

Description: Conclude subspace ordering from nonzero vector membership. (ssrdv 3609 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssssr.v	|- V = ( Base ` W )
lssssr.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssssr.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssssr.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssssr.t	|- ( ph -> T C_ V )
lssssr.u	|- ( ph -> U e. S )
lssssr.1	|- ( ( ph /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( x e. T -> x e. U ) )

Assertion

Ref	Expression
lssssr	|- ( ph -> T C_ U )

Distinct variable groups:   x, T   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   V( x)   W( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem lssssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = .0. ) -> x = .0. )
2		lssssr.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lssssr.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. S )
4		lssssr.o	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` W )
5		lssssr.s	. . . . . . . 8 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss0cl 18947	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )
7	2, 3, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. U )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = .0. ) -> .0. e. U )
9	1, 8	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = .0. ) -> x e. U )
10	9	a1d 25	. . 3 |- ( ( ph /\ x = .0. ) -> ( x e. T -> x e. U ) )
11		lssssr.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T C_ V )
12	11	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. T -> x e. V ) )
13	12	ancrd 577	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. T -> ( x e. V /\ x e. T ) ) )
14	13	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x =/= .0. ) -> ( x e. T -> ( x e. V /\ x e. T ) ) )
15		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( V \ { .0. } ) <-> ( x e. V /\ x =/= .0. ) )
16		lssssr.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( x e. T -> x e. U ) )
17	15, 16	sylan2br 493	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ x =/= .0. ) ) -> ( x e. T -> x e. U ) )
18	17	exp32 631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V -> ( x =/= .0. -> ( x e. T -> x e. U ) ) ) )
19	18	com23 86	. . . . 5 |- ( ph -> ( x =/= .0. -> ( x e. V -> ( x e. T -> x e. U ) ) ) )
20	19	imp4b 613	. . . 4 |- ( ( ph /\ x =/= .0. ) -> ( ( x e. V /\ x e. T ) -> x e. U ) )
21	14, 20	syld 47	. . 3 |- ( ( ph /\ x =/= .0. ) -> ( x e. T -> x e. U ) )
22	10, 21	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ph -> ( x e. T -> x e. U ) )
23	22	ssrdv 3609	1 |- ( ph -> T C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  36717