Theorem ltexprlem1 9858

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	|- ( B e. P. -> ( A C. B -> C =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4039	. . 3 |- ( A C. B -> E. y ( y e. B /\ -. y e. A ) )
2		prnmadd 9819	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. P. /\ y e. B ) -> E. x ( y +Q x ) e. B )
3	2	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( -. y e. A /\ ( B e. P. /\ y e. B ) ) -> ( -. y e. A /\ E. x ( y +Q x ) e. B ) )
4		19.42v 1918	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) <-> ( -. y e. A /\ E. x ( y +Q x ) e. B ) )
5	3, 4	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( -. y e. A /\ ( B e. P. /\ y e. B ) ) -> E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
6	5	exp32 631	. . . . . 6 |- ( -. y e. A -> ( B e. P. -> ( y e. B -> E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) ) )
7	6	com3l 89	. . . . 5 |- ( B e. P. -> ( y e. B -> ( -. y e. A -> E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) ) )
8	7	impd 447	. . . 4 |- ( B e. P. -> ( ( y e. B /\ -. y e. A ) -> E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) )
9	8	eximdv 1846	. . 3 |- ( B e. P. -> ( E. y ( y e. B /\ -. y e. A ) -> E. y E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) )
10	1, 9	syl5 34	. 2 |- ( B e. P. -> ( A C. B -> E. y E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) )
11		ltexprlem.1	. . . . 5 |- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
12	11	abeq2i 2735	. . . 4 |- ( x e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
13	12	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x x e. C <-> E. x E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
14		n0 3931	. . 3 |- ( C =/= (/) <-> E. x x e. C )
15		excom 2042	. . 3 |- ( E. y E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) <-> E. x E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 292	. 2 |- ( C =/= (/) <-> E. y E. x ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
17	10, 16	syl6ibr 242	1 |- ( B e. P. -> ( A C. B -> C =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   C. wpss 3575   (/)c0 3915  (class class class)co 6650   +Q cplq 9677   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9862