Theorem ltexprlem5 9862

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem5	|- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C e. P. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem ltexprlem5

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
2	1	ltexprlem1 9858	. . . . 5 |- ( B e. P. -> ( A C. B -> C =/= (/) ) )
3		0pss 4013	. . . . 5 |- ( (/) C. C <-> C =/= (/) )
4	2, 3	syl6ibr 242	. . . 4 |- ( B e. P. -> ( A C. B -> (/) C. C ) )
5	4	imp 445	. . 3 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> (/) C. C )
6	1	ltexprlem2 9859	. . . 4 |- ( B e. P. -> C C. Q. )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C C. Q. )
8	1	ltexprlem3 9860	. . . . . 6 |- ( B e. P. -> ( x e. C -> A. z ( z <Q x -> z e. C ) ) )
9	1	ltexprlem4 9861	. . . . . . 7 |- ( B e. P. -> ( x e. C -> E. z ( z e. C /\ x <Q z ) ) )
10		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C x <Q z <-> E. z ( z e. C /\ x <Q z ) )
11	9, 10	syl6ibr 242	. . . . . 6 |- ( B e. P. -> ( x e. C -> E. z e. C x <Q z ) )
12	8, 11	jcad 555	. . . . 5 |- ( B e. P. -> ( x e. C -> ( A. z ( z <Q x -> z e. C ) /\ E. z e. C x <Q z ) ) )
13	12	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( B e. P. -> A. x e. C ( A. z ( z <Q x -> z e. C ) /\ E. z e. C x <Q z ) )
14	13	adantr 481	. . 3 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> A. x e. C ( A. z ( z <Q x -> z e. C ) /\ E. z e. C x <Q z ) )
15	5, 7, 14	jca31 557	. 2 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> ( ( (/) C. C /\ C C. Q. ) /\ A. x e. C ( A. z ( z <Q x -> z e. C ) /\ E. z e. C x <Q z ) ) )
16		elnp 9809	. 2 |- ( C e. P. <-> ( ( (/) C. C /\ C C. Q. ) /\ A. x e. C ( A. z ( z <Q x -> z e. C ) /\ E. z e. C x <Q z ) ) )
17	15, 16	sylibr 224	1 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C e. P. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C. wpss 3575   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   +Q cplq 9677   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  ltexprlem6  9863  ltexprlem7  9864  ltexpri  9865