MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem mapfien 8313
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w |- W = ( G ` Z )
mapfien.f |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a |- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b |- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c |- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d |- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z |- ( ph -> Z e. B )
Assertion
Ref Expression
mapfien |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )
Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, f, F   f, G, x   ph, f   x, D   S, f   T, f   x, W   x, Z
Allowed substitution hints:   ph( x)   A( f)   B( f)   C( f)   D( f)   S( x)   T( x)   W( f)   Z( f)
Proof of Theorem mapfien
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . 2 |- ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) )
2 mapfien.g . . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
3 f1of 6137 . . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
42, 3syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> G : B --> D )
54adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> G : B --> D )
6 breq1 4656 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x finSupp Z <-> f finSupp Z ) )
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
86, 7elrab2 3366 . . . . . . . . 9 |- ( f e. S <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ f finSupp Z ) )
98simplbi 476 . . . . . . . 8 |- ( f e. S -> f e. ( B ^m A ) )
109adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f e. ( B ^m A ) )
11 elmapi 7879 . . . . . . 7 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
1210, 11syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f : A --> B )
13 mapfien.f . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
14 f1of 6137 . . . . . . . 8 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> F : C --> A )
1615adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> F : C --> A )
17 fco 6058 . . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ F : C --> A ) -> ( f o. F ) : C --> B )
1812, 16, 17syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) : C --> B )
19 fco 6058 . . . . 5 |- ( ( G : B --> D /\ ( f o. F ) : C --> B ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
205, 18, 19syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
21 mapfien.d . . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
22 mapfien.c . . . . . 6 |- ( ph -> C e. _V )
2321, 22elmapd 7871 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
2423adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
2520, 24mpbird 247 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) )
26 mapfien.t . . . 4 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
27 mapfien.w . . . 4 |- W = ( G ` Z )
28 mapfien.a . . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
29 mapfien.b . . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
30 mapfien.z . . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
317, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem1 8310 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )
32 breq1 4656 . . . 4 |- ( x = ( G o. ( f o. F ) ) -> ( x finSupp W <-> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
3332, 26elrab2 3366 . . 3 |- ( ( G o. ( f o. F ) ) e. T <-> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) /\ ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
3425, 31, 33sylanbrc 698 . 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. T )
357, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem3 8312 . 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
36 coass 5654 . . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) )
3713adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
38 f1ococnv1 6165 . . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
4039coeq2d 5284 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) )
41 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
42 f1of 6137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
432, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' G : D --> B )
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
45 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. T )
46 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x finSupp W <-> g finSupp W ) )
4746, 26elrab2 3366 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. T <-> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
4845, 47sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
4948simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. ( D ^m C ) )
50 elmapi 7879 . . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
52 fco 6058 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
5344, 51, 52syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
5453adantrl 752 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
55 fcoi1 6078 . . . . . . . 8 |- ( ( `' G o. g ) : C --> B -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
5740, 56eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( `' G o. g ) )
5836, 57syl5eq 2668 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( `' G o. g ) )
5958eqeq2d 2632 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
60 coass 5654 . . . . . . 7 |- ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) )
612adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> G : B -1-1-onto-> D )
62 f1ococnv1 6165 . . . . . . . . . 10 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
6463coeq1d 5283 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) )
6518adantrr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f o. F ) : C --> B )
66 fcoi2 6079 . . . . . . . . 9 |- ( ( f o. F ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
6864, 67eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
6960, 68syl5eqr 2670 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f o. F ) )
7069eqeq2d 2632 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( `' G o. g ) = ( f o. F ) ) )
71 eqcom 2629 . . . . 5 |- ( ( `' G o. g ) = ( f o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) )
7270, 71syl6bb 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
7359, 72bitr4d 271 . . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) ) )
74 f1ofo 6144 . . . . 5 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
7537, 74syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -onto-> A )
76 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
7710, 11, 763syl 18 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f Fn A )
7877adantrr 753 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> f Fn A )
79 f1ocnv 6149 . . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
80 f1of 6137 . . . . . . . . 9 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A --> C )
8113, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : A --> C )
8281adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A --> C )
83 fco 6058 . . . . . . 7 |- ( ( ( `' G o. g ) : C --> B /\ `' F : A --> C ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
8453, 82, 83syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
85 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
8684, 85syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
8786adantrl 752 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
88 cocan2 6547 . . . 4 |- ( ( F : C -onto-> A /\ f Fn A /\ ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
8975, 78, 87, 88syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
902, 41syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> `' G : D -1-1-onto-> B )
9190adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-onto-> B )
92 f1of1 6136 . . . . 5 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D -1-1-> B )
9391, 92syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-> B )
9451adantrl 752 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> g : C --> D )
9520adantrr 753 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
96 cocan1 6546 . . . 4 |- ( ( `' G : D -1-1-> B /\ g : C --> D /\ ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
9873, 89, 973bitr3d 298 . 2 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
991, 34, 35, 98f1o2d 6887 1 |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fsupp 8276
This theorem is referenced by:  mapfien2  8314  wemapwe  8594  oef1o  8595  fcobijfs  29501
  Copyright terms: Public domain W3C validator