Theorem mapfienlem2 8311

Description: Lemma 2 for mapfien 8313. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	|- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t	|- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w	|- W = ( G ` Z )
mapfien.f	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g	|- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a	|- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b	|- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c	|- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d	|- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
mapfienlem2	|- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) finSupp Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, g, F   g, G, x   ph, g   x, D   S, g   T, g   x, W   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( g)   B( g)   C( g)   D( g)   S( x)   T( x)   W( g)   Z( g)

Proof of Theorem mapfienlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfien.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> Z e. B )
3		mapfien.w	. . . . 5 |- W = ( G ` Z )
4		mapfien.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
5		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G : B --> D )
7	6, 1	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Z ) e. D )
8	3, 7	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> W e. D )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> W e. D )
10		elrabi 3359	. . . . . 6 |- ( g e. { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W } -> g e. ( D ^m C ) )
11		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( g e. { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W } -> g : C --> D )
13		mapfien.t	. . . . 5 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
14	12, 13	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( g e. T -> g : C --> D )
15	14	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
16		f1ocnv 6149	. . . . 5 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
17		f1of 6137	. . . . 5 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
18	4, 16, 17	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> `' G : D --> B )
19	18	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
20		ssid 3624	. . . 4 |- D C_ D
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> D C_ D )
22		mapfien.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. _V )
23	22	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> C e. _V )
24		mapfien.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
25	24	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> D e. _V )
26		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = g -> ( x finSupp W <-> g finSupp W ) )
27	26	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( g e. { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W } <-> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
28	27	simprbi 480	. . . . 5 |- ( g e. { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W } -> g finSupp W )
29	28, 13	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( g e. T -> g finSupp W )
30	29	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g finSupp W )
31	4, 1	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G : B -1-1-onto-> D /\ Z e. B ) )
32	3	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( G ` Z ) = W
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` Z ) = W )
34	31, 33	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G : B -1-1-onto-> D /\ Z e. B ) /\ ( G ` Z ) = W ) )
35	34	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( G : B -1-1-onto-> D /\ Z e. B ) /\ ( G ` Z ) = W ) )
36		f1ocnvfv 6534	. . . . 5 |- ( ( G : B -1-1-onto-> D /\ Z e. B ) -> ( ( G ` Z ) = W -> ( `' G ` W ) = Z ) )
37	36	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( G : B -1-1-onto-> D /\ Z e. B ) /\ ( G ` Z ) = W ) -> ( `' G ` W ) = Z )
38	35, 37	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G ` W ) = Z )
39	2, 9, 15, 19, 21, 23, 25, 30, 38	fsuppcor 8309	. 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) finSupp Z )
40		mapfien.f	. . . 4 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
41		f1ocnv 6149	. . . 4 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
42		f1of1 6136	. . . 4 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A -1-1-> C )
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> `' F : A -1-1-> C )
44	43	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A -1-1-> C )
45		mapfien.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
46	6, 45	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( G : B --> D /\ B e. _V ) )
47		fex 6490	. . . 4 |- ( ( G : B --> D /\ B e. _V ) -> G e. _V )
48		cnvexg 7112	. . . 4 |- ( G e. _V -> `' G e. _V )
49	46, 47, 48	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> `' G e. _V )
50		coexg 7117	. . 3 |- ( ( `' G e. _V /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) e. _V )
51	49, 50	sylan 488	. 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) e. _V )
52	39, 44, 2, 51	fsuppco 8307	1 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  mapfienlem3  8312