Theorem neibastop3 32357

Description: The topology generated by a neighborhood base is unique. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	|- ( ph -> X e. V )
neibastop1.2	|- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
neibastop1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
neibastop1.4	|- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
neibastop1.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
neibastop1.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
neibastop3	|- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Distinct variable groups:   t, n, v, y, j, x   j, J   x, n, J, v, y   t, o, v, w, x, y, j, F, n   ph, j, n, o, t, v, w, x, y   j, X, n, o, t, v, w, x, y

Allowed substitution hints:   J( w, t, o)   V( x, y, w, v, t, j, n, o)

Proof of Theorem neibastop3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neibastop1.1	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
2		neibastop1.2	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> ( ~P ~P X \ { (/) } ) )
3		neibastop1.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) /\ w e. ( F ` x ) ) ) -> ( ( F ` x ) i^i ~P ( v i^i w ) ) =/= (/) )
4		neibastop1.4	. . . 4 |- J = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) }
5	1, 2, 3, 4	neibastop1 32354	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
6		neibastop1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> x e. v )
7		neibastop1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ v e. ( F ` x ) ) ) -> E. t e. ( F ` x ) A. y e. t ( ( F ` y ) i^i ~P v ) =/= (/) )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	neibastop2 32356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
9		selpw 4165	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ~P X <-> n C_ X )
10	9	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) <-> ( n C_ X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
11	8, 10	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) <-> ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) ) )
12	11	abbi2dv 2742	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) } )
13		df-rab 2921	. . . . . 6 |- { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n | ( n e. ~P X /\ ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) }
14	12, 13	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
15	14	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
16		sneq 4187	. . . . . . 7 |- ( x = z -> { x } = { z } )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
19	18	ineq1d 3813	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` z ) i^i ~P n ) )
20	19	neeq1d 2853	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) ) )
21	20	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( x = z -> { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
22	17, 21	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
23	22	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. z e. X ( ( nei ` J ) ` { z } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` z ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
24	15, 23	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
25		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> X = U. j )
26		eqimss2 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( X = U. j -> U. j C_ X )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> U. j C_ X )
28		sspwuni 4611	. . . . . . . . 9 |- ( j C_ ~P X <-> U. j C_ X )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j C_ ~P X )
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j C_ ~P X )
31		sseqin2 3817	. . . . . . 7 |- ( j C_ ~P X <-> ( ~P X i^i j ) = j )
32	30, 31	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = j )
33		topontop 20718	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. (TopOn ` X ) -> j e. Top )
34	33	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> j e. Top )
35		eltop2 20779	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Top -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
37		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. ~P X -> o C_ X )
38		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o C_ X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. ~P X -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
43	33	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> j e. Top )
44	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> X = U. j )
45	44	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) -> ( o C_ X <-> o C_ U. j ) )
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o C_ X ) -> o C_ U. j )
47	37, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> o C_ U. j )
48	47	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> x e. U. j )
49	48	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> x e. U. j )
50	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> o C_ U. j )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. j = U. j
52	51	isneip 20909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> ( o C_ U. j /\ E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) ) )
53	52	baibd 948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( j e. Top /\ x e. U. j ) /\ o C_ U. j ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
54	43, 49, 50, 53	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. ( ( nei ` j ) ` { x } ) <-> E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) ) )
55		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = o -> ~P n = ~P o )
56	55	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = o -> ( ( F ` x ) i^i ~P n ) = ( ( F ` x ) i^i ~P o ) )
57	56	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = o -> ( ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
58	57	elrab3 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o e. ~P X -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
59	58	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( o e. { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
60	42, 54, 59	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ ( x e. o /\ ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
61	60	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ x e. o ) -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
62	61	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
63	40, 62	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ o e. ~P X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
65	64	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
66		ralbi 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. o ( E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( A. x e. o E. z e. j ( x e. z /\ z C_ o ) <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
68	36, 67	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ o e. ~P X ) -> ( o e. j <-> A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) ) )
69	68	rabbi2dva 3821	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = { o e. ~P X | A. x e. o ( ( F ` x ) i^i ~P o ) =/= (/) } )
70	69, 4	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> ( ~P X i^i j ) = J )
71	32, 70	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. (TopOn ` X ) ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J )
72	71	expl 648	. . . 4 |- ( ph -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
73	72	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ph -> A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) )
74		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( j = J -> ( j e. (TopOn ` X ) <-> J e. (TopOn ` X ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> ( nei ` j ) = ( nei ` J ) )
76	75	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( ( nei ` j ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
77	76	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
78	77	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( j = J -> ( A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
79	74, 78	anbi12d 747	. . . 4 |- ( j = J -> ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) <-> ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) ) )
80	79	eqeu 3377	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( J e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` J ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) /\ A. j ( ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) -> j = J ) ) -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
81	5, 5, 24, 73, 80	syl121anc 1331	. 2 |- ( ph -> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
82		df-reu 2919	. 2 |- ( E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } <-> E! j ( j e. (TopOn ` X ) /\ A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } ) )
83	81, 82	sylibr 224	1 |- ( ph -> E! j e. (TopOn ` X ) A. x e. X ( ( nei ` j ) ` { x } ) = { n e. ~P X | ( ( F ` x ) i^i ~P n ) =/= (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   -->wf 5884   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-nei 20902

This theorem is referenced by: (None)