Theorem nmoubi 27627

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmoubi.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
nmoubi.l	|- L = ( normCV ` U )
nmoubi.m	|- M = ( normCV ` W )
nmoubi.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmoubi	|- ( ( T : X --> Y /\ A e. RR* ) -> ( ( N ` T ) <_ A <-> A. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, L   x, U   x, W   x, Y   x, M   x, T   x, X

Allowed substitution hint:   N( x)

Proof of Theorem nmoubi

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.u	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
2		nmoubi.w	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
3		nmoubi.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		nmoubi.y	. . . . . . 7 |- Y = ( BaseSet ` W )
5		nmoubi.l	. . . . . . 7 |- L = ( normCV ` U )
6		nmoubi.m	. . . . . . 7 |- M = ( normCV ` W )
7		nmoubi.3	. . . . . . 7 |- N = ( U normOpOLD W )
8	3, 4, 5, 6, 7	nmooval 27618	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) = sup ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) )
9	1, 2, 8	mp3an12 1414	. . . . 5 |- ( T : X --> Y -> ( N ` T ) = sup ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) )
10	9	breq1d 4663	. . . 4 |- ( T : X --> Y -> ( ( N ` T ) <_ A <-> sup ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A ) )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( T : X --> Y /\ A e. RR* ) -> ( ( N ` T ) <_ A <-> sup ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A ) )
12	4, 6	nmosetre 27619	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR )
13	2, 12	mpan 706	. . . . 5 |- ( T : X --> Y -> { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR )
14		ressxr 10083	. . . . 5 |- RR C_ RR*
15	13, 14	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( T : X --> Y -> { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR* )
16		supxrleub 12156	. . . 4 |- ( ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR* /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A ) )
17	15, 16	sylan 488	. . 3 |- ( ( T : X --> Y /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A ) )
18	11, 17	bitrd 268	. 2 |- ( ( T : X --> Y /\ A e. RR* ) -> ( ( N ` T ) <_ A <-> A. z e. { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A ) )
19		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y = ( M ` ( T ` x ) ) <-> z = ( M ` ( T ` x ) ) ) )
20	19	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) <-> ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) ) )
22	21	ralab 3367	. . 3 |- ( A. z e. { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A <-> A. z ( E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) )
23		ralcom4 3224	. . . 4 |- ( A. x e. X A. z ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> A. z A. x e. X ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) )
24		ancomst 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> ( ( z = ( M ` ( T ` x ) ) /\ ( L ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) )
25		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z = ( M ` ( T ` x ) ) /\ ( L ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> ( z = ( M ` ( T ` x ) ) -> ( ( L ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) )
26	24, 25	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> ( z = ( M ` ( T ` x ) ) -> ( ( L ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) )
27	26	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> A. z ( z = ( M ` ( T ` x ) ) -> ( ( L ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) )
28		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( M ` ( T ` x ) ) e. _V
29		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = ( M ` ( T ` x ) ) -> ( z <_ A <-> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
30	29	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( z = ( M ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( L ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) <-> ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
31	28, 30	ceqsalv 3233	. . . . . 6 |- ( A. z ( z = ( M ` ( T ` x ) ) -> ( ( L ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) <-> ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
32	27, 31	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. z ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
33	32	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. X A. z ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> A. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
34		r19.23v 3023	. . . . 5 |- ( A. x e. X ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> ( E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) )
35	34	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z A. x e. X ( ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) <-> A. z ( E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) )
36	23, 33, 35	3bitr3i 290	. . 3 |- ( A. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) <-> A. z ( E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ z = ( M ` ( T ` x ) ) ) -> z <_ A ) )
37	22, 36	bitr4i 267	. 2 |- ( A. z e. { y | E. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 /\ y = ( M ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A <-> A. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
38	18, 37	syl6bb 276	1 |- ( ( T : X --> Y /\ A e. RR* ) -> ( ( N ` T ) <_ A <-> A. x e. X ( ( L ` x ) <_ 1 -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   norm_CVcnmcv 27445   normOpOLDcnmoo 27596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-nmoo 27600

This theorem is referenced by:  nmoub3i  27628  nmobndi  27630  ubthlem2  27727