Theorem nnacan 7708

Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacan	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem nnacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 7707	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) -> ( B C_ C <-> ( A +o B ) C_ ( A +o C ) ) )
2	1	3comr 1273	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B C_ C <-> ( A +o B ) C_ ( A +o C ) ) )
3		nnaword 7707	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) -> ( C C_ B <-> ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
4	3	3com13 1270	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C C_ B <-> ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
5	2, 4	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) ) )
6	5	bicomd 213	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) ) )
7		eqss 3618	. 2 |- ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
8		eqss 3618	. 2 |- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
9	6, 7, 8	3bitr4g 303	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  omopthi  7737  unfilem2  8225  ackbij1lem13  9054  ackbij1lem16  9057  addcanpi  9721