ackbij1lem16 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ackbij1lem16 9057

Description: Lemma for ackbij1 9060. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
ackbij.f

**Assertion**
Ref	Expression
ackbij1lem16	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ackbij1lem16 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . . . . . . 9
2	1	sseli 3599	. . . . . . . 8
3	2	elpwid 4170	. . . . . . 7
4	3	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
5	1	sseli 3599	. . . . . . . 8
6	5	elpwid 4170	. . . . . . 7
7	6	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
8	4, 7	unssd 3789	. . . . 5 $/\$
9		inss2 3834	. . . . . . 7
10	9	sseli 3599	. . . . . 6
11	9	sseli 3599	. . . . . 6
12		unfi 8227	. . . . . 6 $/\$
13	10, 11, 12	syl2an 494	. . . . 5 $/\$
14		nnunifi 8211	. . . . 5 $/\$
15	8, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
16		peano2 7086	. . . 4
17	15, 16	syl 17	. . 3 $/\$
18		ineq2 3808	. . . . . . . 8
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . 7
20		ineq2 3808	. . . . . . . 8
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7
22	19, 21	eqeq12d 2637	. . . . . 6
23	18, 20	eqeq12d 2637	. . . . . 6
24	22, 23	imbi12d 334	. . . . 5
25	24	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
26		ineq2 3808	. . . . . . . 8
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7
28		ineq2 3808	. . . . . . . 8
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . 7
30	27, 29	eqeq12d 2637	. . . . . 6
31	26, 28	eqeq12d 2637	. . . . . 6
32	30, 31	imbi12d 334	. . . . 5
33	32	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
34		ineq2 3808	. . . . . . . 8
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . 7
36		ineq2 3808	. . . . . . . 8
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . 7
38	35, 37	eqeq12d 2637	. . . . . 6
39	34, 36	eqeq12d 2637	. . . . . 6
40	38, 39	imbi12d 334	. . . . 5
41	40	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
42		ineq2 3808	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . 7
44		ineq2 3808	. . . . . . . 8
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . 7
46	43, 45	eqeq12d 2637	. . . . . 6
47	42, 44	eqeq12d 2637	. . . . . 6
48	46, 47	imbi12d 334	. . . . 5
49	48	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
50		in0 3968	. . . . . 6
51		in0 3968	. . . . . 6
52	50, 51	eqtr4i 2647	. . . . 5
53	52	2a1i 12	. . . 4 $/\$
54		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		ackbij1lem2 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	57	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		ackbij1lem4 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
61		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
62		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63		ackbij.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64	63	ackbij1lem11 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	61, 62, 64	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
69		orddisj 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
72		ssdisj 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
73	67, 71, 72	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
74	66, 73	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
75	63	ackbij1lem9 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
76	60, 65, 74, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
77	76	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	58, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	55, 78	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		ackbij1lem2 9043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	81	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
84		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	63	ackbij1lem11 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
87		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89		ssdisj 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
90	88, 71, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
91	87, 90	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
92	63	ackbij1lem9 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
93	60, 86, 91, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	82, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	55, 95	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	54, 79, 96	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	63	ackbij1lem10 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
99	98	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100	60, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
101	98	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	65, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
103	98	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	86, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnacan 7708	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
106	100, 102, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
107	106	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
108	107	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	97, 108	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . . 15
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
113	80	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
114	111, 112, 113	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
115	114	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
116	115	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	109, 116	embantd 59	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	3exp 1264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
119		simp13 1093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		simp12r 1175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122		simp12l 1174	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		simp11 1091	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	63	ackbij1lem15 9056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	121, 122, 123, 124, 125, 126	syl23anc 1333	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	120, 127	pm2.21dd 186	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	3exp 1264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
130	118, 129	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
131		simp13 1093	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		simp12l 1174	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		simp12r 1175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		simp11 1091	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	63	ackbij1lem15 9056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	132, 133, 134, 135, 136, 137	syl23anc 1333	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	131, 138	pm2.21dd 186	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	3exp 1264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
141		simp13 1093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		ackbij1lem1 9042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
143	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
144	143	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
145		ackbij1lem1 9042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
147	146	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
148	144, 147	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
149	148	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
150	149	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	141, 150	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	143, 146	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
153	152	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
154	153	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	embantd 59	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	3exp 1264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
157	140, 156	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
158	130, 157	pm2.61d 170	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
159	158	3exp 1264	. . . . . 6 $/\$
160	159	com34 91	. . . . 5 $/\$
161	160	a2d 29	. . . 4 $/\$ $/\$
162	25, 33, 41, 49, 53, 161	finds 7092	. . 3 $/\$
163	17, 162	mpcom 38	. 2 $/\$
164		omsson 7069	. . . . . . . 8
165	8, 164	syl6ss 3615	. . . . . . 7 $/\$
166		onsucuni 7028	. . . . . . 7
167	165, 166	syl 17	. . . . . 6 $/\$
168	167	unssad 3790	. . . . 5 $/\$
169		df-ss 3588	. . . . 5
170	168, 169	sylib 208	. . . 4 $/\$
171	170	fveq2d 6195	. . 3 $/\$
172	167	unssbd 3791	. . . . 5 $/\$
173		df-ss 3588	. . . . 5
174	172, 173	sylib 208	. . . 4 $/\$
175	174	fveq2d 6195	. . 3 $/\$
176	171, 175	eqeq12d 2637	. 2 $/\$
177	170, 174	eqeq12d 2637	. 2 $/\$
178	163, 176, 177	3imtr3d 282	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cuni 4436

ciun 4520

cmpt 4729

cxp 5112

word 5722

con0 5723

csuc 5725

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

coa 7557

cfn 7955

ccrd 8761

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990

This theorem is referenced by: ackbij1lem17 9058

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