Theorem nosupbnd1lem6 31859

Description: Lemma for nosupbnd1 31860. Establish a hard upper bound when there is no maximum. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem6	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) <s S )

Distinct variable groups:   A, g, u, v, x, y   u, U, v   x, u, y, v

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( x, y, g)

Proof of Theorem nosupbnd1lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> A C_ No )
2		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> U e. A )
3	1, 2	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> U e. No )
4		nofv 31810	. . . . 5 |- ( U e. No -> ( ( U ` dom S ) = (/) \/ ( U ` dom S ) = 1o \/ ( U ` dom S ) = 2o ) )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( ( U ` dom S ) = (/) \/ ( U ` dom S ) = 1o \/ ( U ` dom S ) = 2o ) )
6		3oran 1057	. . . 4 |- ( ( ( U ` dom S ) = (/) \/ ( U ` dom S ) = 1o \/ ( U ` dom S ) = 2o ) <-> -. ( -. ( U ` dom S ) = (/) /\ -. ( U ` dom S ) = 1o /\ -. ( U ` dom S ) = 2o ) )
7	5, 6	sylib 208	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> -. ( -. ( U ` dom S ) = (/) /\ -. ( U ` dom S ) = 1o /\ -. ( U ` dom S ) = 2o ) )
8		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
9		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
10		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> U e. A )
11		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> ( U |` dom S ) = S )
12		nosupbnd1.1	. . . . . . 7 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
13	12	nosupbnd1lem4 31857	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= (/) )
14	8, 9, 10, 11, 13	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> ( U ` dom S ) =/= (/) )
15	14	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> -. ( U ` dom S ) = (/) )
16	12	nosupbnd1lem5 31858	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )
17	8, 9, 10, 11, 16	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )
18	17	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> -. ( U ` dom S ) = 1o )
19	12	nosupbnd1lem3 31856	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 2o )
20	8, 9, 10, 11, 19	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> ( U ` dom S ) =/= 2o )
21	20	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> -. ( U ` dom S ) = 2o )
22	15, 18, 21	3jca 1242	. . 3 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( U |` dom S ) = S ) -> ( -. ( U ` dom S ) = (/) /\ -. ( U ` dom S ) = 1o /\ -. ( U ` dom S ) = 2o ) )
23	7, 22	mtand 691	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> -. ( U |` dom S ) = S )
24	12	nosupbnd1lem1 31854	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> -. S <s ( U |` dom S ) )
25	12	nosupno 31849	. . . . . 6 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
26	25	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> S e. No )
27		nodmon 31803	. . . . 5 |- ( S e. No -> dom S e. On )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> dom S e. On )
29		noreson 31813	. . . 4 |- ( ( U e. No /\ dom S e. On ) -> ( U |` dom S ) e. No )
30	3, 28, 29	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) e. No )
31		sltso 31827	. . . 4 |- <s Or No
32		solin 5058	. . . 4 |- ( ( <s Or No /\ ( ( U |` dom S ) e. No /\ S e. No ) ) -> ( ( U |` dom S ) <s S \/ ( U |` dom S ) = S \/ S <s ( U |` dom S ) ) )
33	31, 32	mpan 706	. . 3 |- ( ( ( U |` dom S ) e. No /\ S e. No ) -> ( ( U |` dom S ) <s S \/ ( U |` dom S ) = S \/ S <s ( U |` dom S ) ) )
34	30, 26, 33	syl2anc 693	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( ( U |` dom S ) <s S \/ ( U |` dom S ) = S \/ S <s ( U |` dom S ) ) )
35	23, 24, 34	ecase23d 1436	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) <s S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   |` cres 5116   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd1  31860