Theorem nosupbnd1lem4 31857

Description: Lemma for nosupbnd1 31860. If U is a prolongment of S and in A, then ( U ` dom S ) is not undefined. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem4	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   A, g, u, v, x, y   u, U   v, u, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( x, y, v, g)

Proof of Theorem nosupbnd1lem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
2		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
3		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> w e. A )
4		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) )
5		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> U <s w )
6		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> A C_ No )
7		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> U e. A )
8	6, 7	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> U e. No )
9		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> A C_ No )
10	9, 3	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> w e. No )
11		sltso 31827	. . . . . . . . . . . . 13 |- <s Or No
12		soasym 31657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <s Or No /\ ( U e. No /\ w e. No ) ) -> ( U <s w -> -. w <s U ) )
13	11, 12	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. No /\ w e. No ) -> ( U <s w -> -. w <s U ) )
14	8, 10, 13	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U <s w -> -. w <s U ) )
15	5, 14	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> -. w <s U )
16	3, 15	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( w e. A /\ -. w <s U ) )
17		nosupbnd1.1	. . . . . . . . . 10 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
18	17	nosupbnd1lem2 31855	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) /\ ( w e. A /\ -. w <s U ) ) ) -> ( w |` dom S ) = S )
19	1, 2, 4, 16, 18	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( w |` dom S ) = S )
20	17	nosupbnd1lem3 31856	. . . . . . . 8 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( w e. A /\ ( w |` dom S ) = S ) ) -> ( w ` dom S ) =/= 2o )
21	1, 2, 3, 19, 20	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( w ` dom S ) =/= 2o )
22	21	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> -. ( w ` dom S ) = 2o )
23	22	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ w e. A ) -> ( U <s w -> -. ( w ` dom S ) = 2o ) )
24		imnan 438	. . . . 5 |- ( ( U <s w -> -. ( w ` dom S ) = 2o ) <-> -. ( U <s w /\ ( w ` dom S ) = 2o ) )
25	23, 24	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ w e. A ) -> -. ( U <s w /\ ( w ` dom S ) = 2o ) )
26	25	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> -. E. w e. A ( U <s w /\ ( w ` dom S ) = 2o ) )
27		simpl3l 1116	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> U e. A )
28		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
29		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( u <s w <-> u <s y ) )
30	29	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. A u <s w <-> E. y e. A u <s y )
31		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( u <s y <-> x <s y ) )
32	31	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( E. y e. A u <s y <-> E. y e. A x <s y ) )
33	30, 32	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( E. w e. A u <s w <-> E. y e. A x <s y ) )
34	33	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. u e. A E. w e. A u <s w <-> A. x e. A E. y e. A x <s y )
35		dfrex2 2996	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A x <s y <-> -. A. y e. A -. x <s y )
36	35	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E. y e. A x <s y <-> A. x e. A -. A. y e. A -. x <s y )
37		ralnex 2992	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A -. A. y e. A -. x <s y <-> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
38	34, 36, 37	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( A. u e. A E. w e. A u <s w <-> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
39	28, 38	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> A. u e. A E. w e. A u <s w )
40		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( u <s w <-> U <s w ) )
41	40	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( E. w e. A u <s w <-> E. w e. A U <s w ) )
42	41	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( U e. A -> ( A. u e. A E. w e. A u <s w -> E. w e. A U <s w ) )
43	27, 39, 42	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> E. w e. A U <s w )
44		simpl2l 1114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> A C_ No )
45	44, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> U e. No )
46	45	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> U e. No )
47	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> A C_ No )
48		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> w e. A )
49	47, 48	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> w e. No )
50	17	nosupno 31849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
51	50	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> S e. No )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> S e. No )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> S e. No )
54		nodmon 31803	. . . . . . . . 9 |- ( S e. No -> dom S e. On )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> dom S e. On )
56		simpl3r 1117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> ( U |` dom S ) = S )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U |` dom S ) = S )
58		simpll1 1100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
59		simpll2 1101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
60		simpll3 1102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) )
61		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> U <s w )
62	45, 49, 13	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U <s w -> -. w <s U ) )
63	61, 62	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> -. w <s U )
64	48, 63	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( w e. A /\ -. w <s U ) )
65	58, 59, 60, 64, 18	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( w |` dom S ) = S )
66	57, 65	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U |` dom S ) = ( w |` dom S ) )
67		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( U ` dom S ) = (/) )
68		nolt02o 31845	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. No /\ w e. No /\ dom S e. On ) /\ ( ( U |` dom S ) = ( w |` dom S ) /\ U <s w ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> ( w ` dom S ) = 2o )
69	46, 49, 55, 66, 61, 67, 68	syl321anc 1348	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ ( w e. A /\ U <s w ) ) -> ( w ` dom S ) = 2o )
70	69	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ w e. A ) -> ( U <s w -> ( w ` dom S ) = 2o ) )
71	70	ancld 576	. . . . 5 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) /\ w e. A ) -> ( U <s w -> ( U <s w /\ ( w ` dom S ) = 2o ) ) )
72	71	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> ( E. w e. A U <s w -> E. w e. A ( U <s w /\ ( w ` dom S ) = 2o ) ) )
73	43, 72	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = (/) ) -> E. w e. A ( U <s w /\ ( w ` dom S ) = 2o ) )
74	26, 73	mtand 691	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> -. ( U ` dom S ) = (/) )
75	74	neqned 2801	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   |` cres 5116   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem5  31858  nosupbnd1lem6  31859