MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nmooge0 27622
Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 |- X = ( BaseSet ` U )
nmoxr.2 |- Y = ( BaseSet ` W )
nmoxr.3 |- N = ( U normOpOLD W )
Assertion
Ref Expression
nmooge0 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> 0 <_ ( N ` T ) )
Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10086 . . 3 |- 0 e. RR*
21a1i 11 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> 0 e. RR* )
3 simp2 1062 . . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> W e. NrmCVec )
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8 |- X = ( BaseSet ` U )
5 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
64, 5nvzcl 27489 . . . . . . 7 |- ( U e. NrmCVec -> ( 0vec ` U ) e. X )
7 ffvelrn 6357 . . . . . . 7 |- ( ( T : X --> Y /\ ( 0vec ` U ) e. X ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) e. Y )
86, 7sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( T : X --> Y /\ U e. NrmCVec ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) e. Y )
98ancoms 469 . . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) e. Y )
1093adant2 1080 . . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) e. Y )
11 nmoxr.2 . . . . 5 |- Y = ( BaseSet ` W )
12 eqid 2622 . . . . 5 |- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W )
1311, 12nvcl 27516 . . . 4 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` ( 0vec ` U ) ) e. Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) e. RR )
143, 10, 13syl2anc 693 . . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) e. RR )
1514rexrd 10089 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) e. RR* )
16 nmoxr.3 . . 3 |- N = ( U normOpOLD W )
174, 11, 16nmoxr 27621 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) e. RR* )
1811, 12nvge0 27528 . . 3 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` ( 0vec ` U ) ) e. Y ) -> 0 <_ ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
193, 10, 18syl2anc 693 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> 0 <_ ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
2011, 12nmosetre 27619 . . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR )
21 ressxr 10083 . . . . . . 7 |- RR C_ RR*
2220, 21syl6ss 3615 . . . . . 6 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR* )
23 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
244, 5, 23nmosetn0 27620 . . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) e. { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } )
25 supxrub 12154 . . . . . 6 |- ( ( { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } C_ RR* /\ ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) e. { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ sup ( { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
2622, 24, 25syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) /\ U e. NrmCVec ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ sup ( { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
27263impa 1259 . . . 4 |- ( ( W e. NrmCVec /\ T : X --> Y /\ U e. NrmCVec ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ sup ( { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
28273comr 1273 . . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ sup ( { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
294, 11, 23, 12, 16nmooval 27618 . . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( N ` T ) = sup ( { x | E. z e. X ( ( ( normCV ` U ) ` z ) <_ 1 /\ x = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) } , RR* , < ) )
3028, 29breqtrrd 4681 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( N ` T ) )
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 11993 1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> 0 <_ ( N ` T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443   normCVcnmcv 27445   normOpOLDcnmoo 27596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-nmoo 27600
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  27652  htthlem  27774
  Copyright terms: Public domain W3C validator