Theorem minvecolem1 27730

Description: Lemma for minveco 27740. The set of all distances from points of Y to A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem1	|- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )

Distinct variable groups:   y, w, J   w, M, y   w, N, y   ph, w, y   w, R   w, A, y   w, D, y   w, U, y   w, W, y   w, X   w, Y, y

Allowed substitution hints:   R( y)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.r	. . 3 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
2		minveco.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
3		phnv 27669	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
6		minveco.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
8		minveco.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
9		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
11	10	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
12		minveco.x	. . . . . . . . . 10 |- X = ( BaseSet ` U )
13		minveco.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( BaseSet ` W )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
15	12, 13, 14	sspba 27582	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
16	4, 11, 15	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
17	16	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
18		minveco.m	. . . . . . . 8 |- M = ( -v ` U )
19	12, 18	nvmcl 27501	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
20	5, 7, 17, 19	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
21		minveco.n	. . . . . . 7 |- N = ( normCV ` U )
22	12, 21	nvcl 27516	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
23	5, 20, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
24		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) : Y --> RR )
26		frn 6053	. . . 4 |- ( ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) : Y --> RR -> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) C_ RR )
27	25, 26	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) C_ RR )
28	1, 27	syl5eqss 3649	. 2 |- ( ph -> R C_ RR )
29	10	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. CBan )
30		bnnv 27722	. . . . . 6 |- ( W e. CBan -> W e. NrmCVec )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
32	13, 31	nvzcl 27489	. . . . . 6 |- ( W e. NrmCVec -> ( 0vec ` W ) e. Y )
33	29, 30, 32	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0vec ` W ) e. Y )
34		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
35	34, 24	dmmpti 6023	. . . . 5 |- dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = Y
36	33, 35	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> ( 0vec ` W ) e. dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
37		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( 0vec ` W ) e. dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) -> dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) =/= (/) )
38	36, 37	syl 17	. . 3 |- ( ph -> dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) =/= (/) )
39		dm0rn0 5342	. . . . 5 |- ( dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = (/) <-> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = (/) )
40	1	eqeq1i 2627	. . . . 5 |- ( R = (/) <-> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = (/) )
41	39, 40	bitr4i 267	. . . 4 |- ( dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = (/) <-> R = (/) )
42	41	necon3bii 2846	. . 3 |- ( dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) =/= (/) <-> R =/= (/) )
43	38, 42	sylib 208	. 2 |- ( ph -> R =/= (/) )
44	12, 21	nvge0 27528	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
45	5, 20, 44	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. Y 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
47	34	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V
48		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( w = ( N ` ( A M y ) ) -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
49	24, 48	ralrnmpt 6368	. . . . 5 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) 0 <_ w <-> A. y e. Y 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) 0 <_ w <-> A. y e. Y 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
51	46, 50	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) 0 <_ w )
52	1	raleqi 3142	. . 3 |- ( A. w e. R 0 <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) 0 <_ w )
53	51, 52	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
54	28, 43, 53	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   MetOpencmopn 19736   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  minvecolem2  27731  minvecolem3  27732  minvecolem4c  27735  minvecolem4  27736  minvecolem5  27737  minvecolem6  27738