Theorem hhshsslem2 28125

Description: Lemma for hhsssh 28126. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
hhsst.2	|- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
hhssp3.3	|- W e. ( SubSp ` U )
hhssp3.4	|- H C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	|- H e. SH

Proof of Theorem hhshsslem2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssp3.4	. . 3 |- H C_ ~H
2		hhsst.1	. . . . . 6 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
3	2	hhnv 28022	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
4		hhssp3.3	. . . . 5 |- W e. ( SubSp ` U )
5	2	hh0v 28025	. . . . . 6 |- 0h = ( 0vec ` U )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
8	5, 6, 7	sspz 27590	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> ( 0vec ` W ) = 0h )
9	3, 4, 8	mp2an 708	. . . 4 |- ( 0vec ` W ) = 0h
10	7	sspnv 27581	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> W e. NrmCVec )
11	3, 4, 10	mp2an 708	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
13	12, 6	nvzcl 27489	. . . . . 6 |- ( W e. NrmCVec -> ( 0vec ` W ) e. ( BaseSet ` W ) )
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0vec ` W ) e. ( BaseSet ` W )
15		hhsst.2	. . . . . 6 |- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
16	2, 15, 4, 1	hhshsslem1 28124	. . . . 5 |- H = ( BaseSet ` W )
17	14, 16	eleqtrri 2700	. . . 4 |- ( 0vec ` W ) e. H
18	9, 17	eqeltrri 2698	. . 3 |- 0h e. H
19	1, 18	pm3.2i 471	. 2 |- ( H C_ ~H /\ 0h e. H )
20	2	hhva 28023	. . . . . . 7 |- +h = ( +v ` U )
21		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
22	16, 20, 21, 7	sspgval 27584	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) /\ ( x e. H /\ y e. H ) ) -> ( x ( +v ` W ) y ) = ( x +h y ) )
23	3, 4, 22	mpanl12 718	. . . . 5 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x ( +v ` W ) y ) = ( x +h y ) )
24	16, 21	nvgcl 27475	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmCVec /\ x e. H /\ y e. H ) -> ( x ( +v ` W ) y ) e. H )
25	11, 24	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x ( +v ` W ) y ) e. H )
26	23, 25	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x +h y ) e. H )
27	26	rgen2a 2977	. . 3 |- A. x e. H A. y e. H ( x +h y ) e. H
28	2	hhsm 28026	. . . . . . 7 |- .h = ( .sOLD ` U )
29		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
30	16, 28, 29, 7	sspsval 27586	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. H ) ) -> ( x ( .sOLD ` W ) y ) = ( x .h y ) )
31	3, 4, 30	mpanl12 718	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( x ( .sOLD ` W ) y ) = ( x .h y ) )
32	16, 29	nvscl 27481	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. H ) -> ( x ( .sOLD ` W ) y ) e. H )
33	11, 32	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( x ( .sOLD ` W ) y ) e. H )
34	31, 33	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( x .h y ) e. H )
35	34	rgen2 2975	. . 3 |- A. x e. CC A. y e. H ( x .h y ) e. H
36	27, 35	pm3.2i 471	. 2 |- ( A. x e. H A. y e. H ( x +h y ) e. H /\ A. x e. CC A. y e. H ( x .h y ) e. H )
37		issh2 28066	. 2 |- ( H e. SH <-> ( ( H C_ ~H /\ 0h e. H ) /\ ( A. x e. H A. y e. H ( x +h y ) e. H /\ A. x e. CC A. y e. H ( x .h y ) e. H ) ) )
38	19, 36, 37	mpbir2an 955	1 |- H e. SH

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   SubSpcss 27576   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ssp 27577  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  hhsssh  28126