Theorem imsmetlem 27545

Description: Lemma for imsmet 27546. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsmetlem.1	|- X = ( BaseSet ` U )
imsmetlem.2	|- G = ( +v ` U )
imsmetlem.7	|- M = ( inv ` G )
imsmetlem.4	|- S = ( .sOLD ` U )
imsmetlem.5	|- Z = ( 0vec ` U )
imsmetlem.6	|- N = ( normCV ` U )
imsmetlem.8	|- D = ( IndMet ` U )
imsmetlem.9	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
imsmetlem	|- D e. ( Met ` X )

Proof of Theorem imsmetlem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsmetlem.1	. . 3 |- X = ( BaseSet ` U )
2		fvex 6201	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. 2 |- X e. _V
4		imsmetlem.9	. . 3 |- U e. NrmCVec
5		imsmetlem.8	. . . 4 |- D = ( IndMet ` U )
6	1, 5	imsdf 27544	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> D : ( X X. X ) --> RR )
7	4, 6	ax-mp 5	. 2 |- D : ( X X. X ) --> RR
8		imsmetlem.2	. . . . . 6 |- G = ( +v ` U )
9		imsmetlem.4	. . . . . 6 |- S = ( .sOLD ` U )
10		imsmetlem.6	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
11	1, 8, 9, 10, 5	imsdval2 27542	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
12	4, 11	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) = 0 ) )
14		neg1cn 11124	. . . . . 6 |- -u 1 e. CC
15	1, 9	nvscl 27481	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ y e. X ) -> ( -u 1 S y ) e. X )
16	4, 14, 15	mp3an12 1414	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( -u 1 S y ) e. X )
17	1, 8	nvgcl 27475	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X ) -> ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X )
18	4, 17	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X ) -> ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X )
19	16, 18	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X )
20		imsmetlem.5	. . . . 5 |- Z = ( 0vec ` U )
21	1, 20, 10	nvz 27524	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X ) -> ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) = 0 <-> ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z ) )
22	4, 19, 21	sylancr 695	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) = 0 <-> ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z ) )
23	1, 20	nvzcl 27489	. . . . . . 7 |- ( U e. NrmCVec -> Z e. X )
24	4, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Z e. X
25	1, 8	nvrcan 27479	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X /\ Z e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( Z G y ) <-> ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z ) )
26	4, 25	mpan 706	. . . . . 6 |- ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X /\ Z e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( Z G y ) <-> ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z ) )
27	24, 26	mp3an2 1412	. . . . 5 |- ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( Z G y ) <-> ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z ) )
28	19, 27	sylancom 701	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( Z G y ) <-> ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z ) )
29		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> x e. X )
30	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( -u 1 S y ) e. X )
31		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> y e. X )
32	1, 8	nvass 27477	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
33	4, 32	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
34	29, 30, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
35	1, 8, 9, 20	nvlinv 27507	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( ( -u 1 S y ) G y ) = Z )
36	4, 35	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( y e. X -> ( ( -u 1 S y ) G y ) = Z )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( -u 1 S y ) G y ) = Z )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) = ( x G Z ) )
39	1, 8, 20	nv0rid 27490	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( x G Z ) = x )
40	4, 39	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( x e. X -> ( x G Z ) = x )
41	40	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x G Z ) = x )
42	34, 38, 41	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = x )
43	1, 8, 20	nv0lid 27491	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( Z G y ) = y )
44	4, 43	mpan 706	. . . . . 6 |- ( y e. X -> ( Z G y ) = y )
45	44	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( Z G y ) = y )
46	42, 45	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y ) = ( Z G y ) <-> x = y ) )
47	28, 46	bitr3d 270	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S y ) ) = Z <-> x = y ) )
48	13, 22, 47	3bitrd 294	. 2 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
49		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> x e. X )
50	1, 9	nvscl 27481	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ z e. X ) -> ( -u 1 S z ) e. X )
51	4, 14, 50	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( z e. X -> ( -u 1 S z ) e. X )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( -u 1 S z ) e. X )
53	1, 8	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ ( -u 1 S z ) e. X ) -> ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X )
54	4, 53	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ ( -u 1 S z ) e. X ) -> ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X )
55	49, 52, 54	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X )
56	55	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X )
57	1, 8	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X ) -> ( z G ( -u 1 S y ) ) e. X )
58	4, 57	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X ) -> ( z G ( -u 1 S y ) ) e. X )
59	16, 58	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ y e. X ) -> ( z G ( -u 1 S y ) ) e. X )
60	59	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( z G ( -u 1 S y ) ) e. X )
61	1, 8, 10	nvtri 27525	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X /\ ( z G ( -u 1 S y ) ) e. X ) -> ( N ` ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) <_ ( ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) + ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
62	4, 61	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X /\ ( z G ( -u 1 S y ) ) e. X ) -> ( N ` ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) <_ ( ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) + ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
63	56, 60, 62	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) <_ ( ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) + ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
64	12	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
65		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> z e. X )
66	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( -u 1 S y ) e. X )
67	1, 8	nvass 27477	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X /\ z e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X ) ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) ) = ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
68	4, 67	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) e. X /\ z e. X /\ ( -u 1 S y ) e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) ) = ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
69	56, 65, 66, 68	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) ) = ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
70		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> z e. X )
71	1, 8	nvass 27477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. X /\ ( -u 1 S z ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) = ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
72	4, 71	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ ( -u 1 S z ) e. X /\ z e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) = ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
73	49, 52, 70, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) = ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
74	1, 8, 9, 20	nvlinv 27507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( -u 1 S z ) G z ) = Z )
75	4, 74	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. X -> ( ( -u 1 S z ) G z ) = Z )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( ( -u 1 S z ) G z ) = Z )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) = ( x G Z ) )
78	40	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( x G Z ) = x )
79	73, 77, 78	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) = x )
80	79	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) = x )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) ) = ( x G ( -u 1 S y ) ) )
82	69, 81	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) = ( x G ( -u 1 S y ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
84	64, 83	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( N ` ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
85	1, 8, 9, 10, 5	imsdval2 27542	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X /\ x e. X ) -> ( z D x ) = ( N ` ( z G ( -u 1 S x ) ) ) )
86	4, 85	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( z D x ) = ( N ` ( z G ( -u 1 S x ) ) ) )
87	1, 8, 9, 10	nvdif 27521	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X /\ x e. X ) -> ( N ` ( z G ( -u 1 S x ) ) ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
88	4, 87	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( N ` ( z G ( -u 1 S x ) ) ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ x e. X ) -> ( z D x ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
90	89	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( z D x ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
91	1, 8, 9, 10, 5	imsdval2 27542	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X /\ y e. X ) -> ( z D y ) = ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
92	4, 91	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ y e. X ) -> ( z D y ) = ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
93	92	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( z D y ) = ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
94	90, 93	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( z D x ) + ( z D y ) ) = ( ( N ` ( x G ( -u 1 S z ) ) ) + ( N ` ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
95	63, 84, 94	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
96	95	3coml 1272	. 2 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
97	3, 7, 48, 96	ismeti 22130	1 |- D e. ( Met ` X )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   -ucneg 10267   Metcme 19732   invcgn 27345   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-met 19740  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456

This theorem is referenced by:  imsmet  27546