Theorem oacomf1o 7645

Description: Define a bijection from A +o B to B +o A. Thus, the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 8548). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oacomf1o.1	|- F = ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
oacomf1o	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( B +o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem oacomf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( B +o x ) ) = ( x e. A |-> ( B +o x ) )
2	1	oacomf1olem 7644	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) : A -1-1-onto-> ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) /\ ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) i^i B ) = (/) ) )
3	2	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( x e. A |-> ( B +o x ) ) : A -1-1-onto-> ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) )
4		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B |-> ( A +o x ) ) = ( x e. B |-> ( A +o x ) )
5	4	oacomf1olem 7644	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) /\ ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) = (/) ) )
6	5	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) /\ ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) = (/) ) )
7	6	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) )
8		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : B -1-1-onto-> ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -> `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -1-1-onto-> B )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -1-1-onto-> B )
10		incom 3805	. . . . . 6 |- ( A i^i ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) = ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A )
11	6	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) i^i A ) = (/) )
12	10, 11	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A i^i ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) = (/) )
13	2	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) i^i B ) = (/) )
14		f1oun 6156	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) : A -1-1-onto-> ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) /\ `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) : ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) = (/) /\ ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) i^i B ) = (/) ) ) -> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) )
15	3, 9, 12, 13, 14	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) )
16		oacomf1o.1	. . . . 5 |- F = ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) )
17		f1oeq1 6127	. . . . 5 |- ( F = ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -> ( F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> ( ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. `' ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) )
19	15, 18	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) )
20		oarec 7642	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) )
21		f1oeq2 6128	. . . 4 |- ( ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -> ( F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) <-> F : ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) )
23	19, 22	mpbird 247	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) )
24		oarec 7642	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. On ) -> ( B +o A ) = ( B u. ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) )
25	24	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( B +o A ) = ( B u. ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) )
26		uncom 3757	. . . 4 |- ( B u. ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) ) = ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B )
27	25, 26	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( B +o A ) = ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) )
28		f1oeq3 6129	. . 3 |- ( ( B +o A ) = ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) -> ( F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( B +o A ) <-> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) )
29	27, 28	syl 17	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( B +o A ) <-> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( ran ( x e. A |-> ( B +o x ) ) u. B ) ) )
30	23, 29	mpbird 247	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( A +o B ) -1-1-onto-> ( B +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Oncon0 5723   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  cnfcomlem  8596