Theorem omordi 7646

Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omordi	|- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem omordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5748	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	ex 450	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
4		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) )
5	4	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
6	3, 5	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) )
7		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
8		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) )
9	8	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) )
11		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
14	11, 13	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) )
15		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
18	15, 17	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
19		noel 3919	. . . . . . . . . . 11 |- -. A e. (/)
20	19	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
22		elsuci 5791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
23		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C .o y ) e. On )
24		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> C e. On )
25	23, 24	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) )
26		oaword1 7632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) )
27	26	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
28	27	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
30	29	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
31		oaord1 7631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
32	31	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
35	32, 34	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
36	35	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
37	30, 36	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
38	25, 37	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
39	22, 38	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
40		omsuc 7606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
43	39, 42	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
44	43	exp43 640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> ( y e. On -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
45	44	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
46	45	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
47	46	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) )
48		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C e. On /\ Lim x ) )
49	48	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) -> ( C e. On /\ Lim x ) )
50		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
51	50	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = suc A -> ( C .o y ) = ( C .o suc A ) )
53	52	ssiun2s 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc A e. x -> ( C .o suc A ) C_ U_ y e. x ( C .o y ) )
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ U_ y e. x ( C .o y ) )
55	54	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ U_ y e. x ( C .o y ) )
56		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
57		omlim 7613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( C .o x ) = U_ y e. x ( C .o y ) )
58	56, 57	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C .o x ) = U_ y e. x ( C .o y ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ A e. x ) -> ( C .o x ) = U_ y e. x ( C .o y ) )
60	55, 59	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ ( C .o x ) )
61	49, 60	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ ( C .o x ) )
62		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C .o A ) e. On )
63		oaord1 7631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o A ) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) )
64	62, 63	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) )
65	64	anabss1 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) )
66	65	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) )
67		omsuc 7606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C .o suc A ) = ( ( C .o A ) +o C ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o suc A ) = ( ( C .o A ) +o C ) )
69	66, 68	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o suc A ) )
70	69	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) -> ( C .o A ) e. ( C .o suc A ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) /\ A e. x ) -> ( C .o A ) e. ( C .o suc A ) )
72	61, 71	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) /\ A e. x ) -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) )
73	72	exp53 647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> ( A e. On -> ( Lim x -> ( (/) e. C -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) ) )
74	73	com13 88	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> ( A e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) ) )
75	74	imp4c 617	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) )
76	75	a1dd 50	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) )
77	6, 10, 14, 18, 21, 47, 76	tfinds3 7064	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
78	77	com23 86	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
79	78	exp4a 633	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
80	79	exp4a 633	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
81	2, 80	mpdd 43	. . . 4 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
82	81	com34 91	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. On -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
83	82	com24 95	. 2 |- ( B e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
84	83	imp31 448	1 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  omord2  7647  omcan  7649  odi  7659  omass  7660  oen0  7666  oeordi  7667  oeordsuc  7674