Theorem cnfcomlem 8596

Description: Lemma for cnfcom 8597. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a	|- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b	|- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.1	|- ( ph -> I e. dom G )
cnfcom.2	|- ( ph -> O e. ( om ^o ( G ` I ) ) )
cnfcom.3	|- ( ph -> ( T ` I ) : ( H ` I ) -1-1-onto-> O )

Assertion

Ref	Expression
cnfcomlem	|- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, z, A   k, I, x, z   x, M   f, k, x, z, F   z, T   f, G, k, x, z   f, H, x   S, k, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, k)   A( f)   B( x, z, f, k)   S( x, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   I( f)   K( x, z, f, k)   M( z, f, k)   O( x, z, f, k)

Proof of Theorem cnfcomlem

Dummy variables u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8543	. . . . . . 7 |- om e. On
2		cnfcom.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. On )
3		suppssdm 7308	. . . . . . . . . 10 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = dom ( om CNF A )
6	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> om e. On )
7	5, 6, 2	cantnff1o 8593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
8		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
9		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
11		cnfcom.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
13	4, 12	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. S )
14	5, 6, 2	cantnfs 8563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) ) )
15	13, 14	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> om )
17		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> om -> dom F = A )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = A )
19	3, 18	syl5sseq 3653	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ A )
20		cnfcom.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. dom G )
21		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
22	21	oif 8435	. . . . . . . . . . 11 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
23	22	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. dom G -> ( G ` I ) e. ( F supp (/) ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` I ) e. ( F supp (/) ) )
25	19, 24	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` I ) e. A )
26		onelon 5748	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( G ` I ) e. A ) -> ( G ` I ) e. On )
27	2, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` I ) e. On )
28		oecl 7617	. . . . . . 7 |- ( ( om e. On /\ ( G ` I ) e. On ) -> ( om ^o ( G ` I ) ) e. On )
29	1, 27, 28	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om ^o ( G ` I ) ) e. On )
30	16, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( G ` I ) ) e. om )
31		nnon 7071	. . . . . . 7 |- ( ( F ` ( G ` I ) ) e. om -> ( F ` ( G ` I ) ) e. On )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( G ` I ) ) e. On )
33		omcl 7616	. . . . . 6 |- ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` I ) ) e. On ) -> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) e. On )
34	29, 32, 33	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) e. On )
35	5, 6, 2, 21, 13	cantnfcl 8564	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
36	35	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom G e. om )
37		elnn 7075	. . . . . . 7 |- ( ( I e. dom G /\ dom G e. om ) -> I e. om )
38	20, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. om )
39		cnfcom.h	. . . . . . . 8 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
40	39	cantnfvalf 8562	. . . . . . 7 |- H : om --> On
41	40	ffvelrni 6358	. . . . . 6 |- ( I e. om -> ( H ` I ) e. On )
42	38, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` I ) e. On )
43		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) )
44	43	oacomf1o 7645	. . . . 5 |- ( ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) e. On /\ ( H ` I ) e. On ) -> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
45	34, 42, 44	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
46		cnfcom.t	. . . . . . . 8 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
47	46	seqomsuc 7552	. . . . . . 7 |- ( I e. om -> ( T ` suc I ) = ( I ( k e. _V , f e. _V |-> K ) ( T ` I ) ) )
48	38, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` suc I ) = ( I ( k e. _V , f e. _V |-> K ) ( T ` I ) ) )
49		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ u K
50		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ v K
51		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) )
52		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ f ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) )
53		cnfcom.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( dom f +o x ) = ( dom f +o y ) )
55	54	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) = ( y e. M |-> ( dom f +o y ) )
56		cnfcom.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
57		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> k = u )
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( G ` k ) = ( G ` u ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( om ^o ( G ` k ) ) = ( om ^o ( G ` u ) ) )
60	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( G ` u ) ) )
61	59, 60	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) )
62	56, 61	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> M = ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) )
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> f = v )
64	63	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> dom f = dom v )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( dom f +o y ) = ( dom v +o y ) )
66	62, 65	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( y e. M |-> ( dom f +o y ) ) = ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) )
67	55, 66	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) = ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( M +o x ) = ( M +o y ) )
69	68	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) = ( y e. dom f |-> ( M +o y ) )
70	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( M +o y ) = ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) )
71	64, 70	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( y e. dom f |-> ( M +o y ) ) = ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) )
72	69, 71	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) = ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) )
73	72	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) = `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) )
74	67, 73	uneq12d 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) ) = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) ) )
75	53, 74	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( k = u /\ f = v ) -> K = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) ) )
76	49, 50, 51, 52, 75	cbvmpt2 6734	. . . . . . . 8 |- ( k e. _V , f e. _V |-> K ) = ( u e. _V , v e. _V |-> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. _V , f e. _V |-> K ) = ( u e. _V , v e. _V |-> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) ) ) )
78		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> u = I )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( G ` u ) = ( G ` I ) )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( om ^o ( G ` u ) ) = ( om ^o ( G ` I ) ) )
81	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( F ` ( G ` u ) ) = ( F ` ( G ` I ) ) )
82	80, 81	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) -> v = ( T ` I ) )
84	83	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) -> dom v = dom ( T ` I ) )
85		cnfcom.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T ` I ) : ( H ` I ) -1-1-onto-> O )
86		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T ` I ) : ( H ` I ) -1-1-onto-> O -> dom ( T ` I ) = ( H ` I ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( T ` I ) = ( H ` I ) )
88	84, 87	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> dom v = ( H ` I ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( dom v +o y ) = ( ( H ` I ) +o y ) )
90	82, 89	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) = ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) )
91	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) = ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) )
92	88, 91	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) = ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) )
93	92	cnveqd 5298	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) = `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) )
94	90, 93	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u = I /\ v = ( T ` I ) ) ) -> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) |-> ( dom v +o y ) ) u. `' ( y e. dom v |-> ( ( ( om ^o ( G ` u ) ) .o ( F ` ( G ` u ) ) ) +o y ) ) ) = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) )
95		elex 3212	. . . . . . . 8 |- ( I e. dom G -> I e. _V )
96	20, 95	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. _V )
97		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T ` I ) e. _V )
98		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) e. _V
99	98	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) e. _V
100		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( H ` I ) e. _V
101	100	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) e. _V
102	101	cnvex 7113	. . . . . . . . 9 |- `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) e. _V
103	99, 102	unex 6956	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) e. _V
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) e. _V )
105	77, 94, 96, 97, 104	ovmpt2d 6788	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ( k e. _V , f e. _V |-> K ) ( T ` I ) ) = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) )
106	48, 105	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( T ` suc I ) = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) )
107		f1oeq1 6127	. . . . 5 |- ( ( T ` suc I ) = ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) -> ( ( T ` suc I ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) <-> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
108	106, 107	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T ` suc I ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) <-> ( ( y e. ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) |-> ( ( H ` I ) +o y ) ) u. `' ( y e. ( H ` I ) |-> ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o y ) ) ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
109	45, 108	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
110	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ F e. S ) -> om e. On )
111		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ F e. S ) -> A e. On )
112		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ F e. S ) -> F e. S )
113	56	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( M +o z ) = ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z )
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. _V /\ z e. _V ) -> ( M +o z ) = ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) )
115	114	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . 8 |- ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) = ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) )
116		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (/) = (/)
117		seqomeq12 7549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) = ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) /\ (/) = (/) ) -> seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) )
118	115, 116, 117	mp2an 708	. . . . . . 7 |- seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) ) = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
119	39, 118	eqtri 2644	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) )
120	5, 110, 111, 21, 112, 119	cantnfsuc 8567	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ I e. om ) -> ( H ` suc I ) = ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) )
121	2, 13, 38, 120	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` suc I ) = ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) )
122		f1oeq2 6128	. . . 4 |- ( ( H ` suc I ) = ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -> ( ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
123	121, 122	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) +o ( H ` I ) ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
124	109, 123	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
125		sssucid 5802	. . . . . 6 |- dom G C_ suc dom G
126	125, 20	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> I e. suc dom G )
127		epelg 5030	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. dom G -> ( y _E I <-> y e. I ) )
128	20, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y _E I <-> y e. I ) )
129	128	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> y _E I )
130		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
131	35	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
132	21	oiiso 8442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
133	130, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
135	21	oicl 8434	. . . . . . . . . . . 12 |- Ord dom G
136		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord dom G /\ I e. dom G ) -> I C_ dom G )
137	135, 20, 136	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I C_ dom G )
138	137	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> y e. dom G )
139	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> I e. dom G )
140		isorel 6576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( y e. dom G /\ I e. dom G ) ) -> ( y _E I <-> ( G ` y ) _E ( G ` I ) ) )
141	134, 138, 139, 140	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( y _E I <-> ( G ` y ) _E ( G ` I ) ) )
142	129, 141	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( G ` y ) _E ( G ` I ) )
143		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( G ` I ) e. _V
144	143	epelc 5031	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` y ) _E ( G ` I ) <-> ( G ` y ) e. ( G ` I ) )
145	142, 144	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( G ` y ) e. ( G ` I ) )
146	145	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. I ( G ` y ) e. ( G ` I ) )
147		ffun 6048	. . . . . . . 8 |- ( G : dom G --> ( F supp (/) ) -> Fun G )
148	22, 147	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun G
149		funimass4 6247	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ I C_ dom G ) -> ( ( G " I ) C_ ( G ` I ) <-> A. y e. I ( G ` y ) e. ( G ` I ) ) )
150	148, 137, 149	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G " I ) C_ ( G ` I ) <-> A. y e. I ( G ` y ) e. ( G ` I ) ) )
151	146, 150	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( G " I ) C_ ( G ` I ) )
152	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> om e. On )
153		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> A e. On )
154		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> F e. S )
155		peano1 7085	. . . . . . 7 |- (/) e. om
156	155	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> (/) e. om )
157		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> I e. suc dom G )
158		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> ( G ` I ) e. On )
159		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> ( G " I ) C_ ( G ` I ) )
160	5, 152, 153, 21, 154, 119, 156, 157, 158, 159	cantnflt 8569	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ F e. S ) /\ ( I e. suc dom G /\ ( G ` I ) e. On /\ ( G " I ) C_ ( G ` I ) ) ) -> ( H ` I ) e. ( om ^o ( G ` I ) ) )
161	2, 13, 126, 27, 151, 160	syl23anc 1333	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` I ) e. ( om ^o ( G ` I ) ) )
162		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> om -> F Fn A )
163	16, 162	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn A )
164		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
165	164	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. _V )
166		elsuppfn 7303	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ A e. On /\ (/) e. _V ) -> ( ( G ` I ) e. ( F supp (/) ) <-> ( ( G ` I ) e. A /\ ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) ) ) )
167	163, 2, 165, 166	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` I ) e. ( F supp (/) ) <-> ( ( G ` I ) e. A /\ ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) ) ) )
168		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` I ) e. A /\ ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) ) -> ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) )
169	167, 168	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` I ) e. ( F supp (/) ) -> ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) ) )
170	24, 169	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) )
171		on0eln0 5780	. . . . . . 7 |- ( ( F ` ( G ` I ) ) e. On -> ( (/) e. ( F ` ( G ` I ) ) <-> ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) ) )
172	32, 171	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (/) e. ( F ` ( G ` I ) ) <-> ( F ` ( G ` I ) ) =/= (/) ) )
173	170, 172	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. ( F ` ( G ` I ) ) )
174		omword1 7653	. . . . 5 |- ( ( ( ( om ^o ( G ` I ) ) e. On /\ ( F ` ( G ` I ) ) e. On ) /\ (/) e. ( F ` ( G ` I ) ) ) -> ( om ^o ( G ` I ) ) C_ ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
175	29, 32, 173, 174	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( om ^o ( G ` I ) ) C_ ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
176		oaabs2 7725	. . . 4 |- ( ( ( ( H ` I ) e. ( om ^o ( G ` I ) ) /\ ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) e. On ) /\ ( om ^o ( G ` I ) ) C_ ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) -> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
177	161, 34, 175, 176	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
178		f1oeq3 6129	. . 3 |- ( ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) -> ( ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
179	177, 178	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( H ` I ) +o ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
180	124, 179	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

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