Theorem oeoa 7677

Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoa	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Proof of Theorem oeoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa00 7639	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) = (/) <-> ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
2	1	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( B +o C ) = (/) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
4		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( B = (/) -> ( (/) ^o B ) = ( (/) ^o (/) ) )
5		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = ( (/) ^o (/) ) )
6		oe0m0 7600	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) ^o (/) ) = 1o
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( (/) ^o C ) = 1o )
8	4, 7	oveqan12d 6669	. . . . . . . . 9 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) )
9		0elon 5778	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. On
10		oecl 7617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. On /\ (/) e. On ) -> ( (/) ^o (/) ) e. On )
11	9, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ^o (/) ) e. On
12		om1 7622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) ^o (/) ) e. On -> ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) ^o (/) ) .o 1o ) = ( (/) ^o (/) )
14	8, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) ^o (/) ) )
16	3, 15	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
17		oacl 7615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B +o C ) e. On )
18		on0eln0 5780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( B +o C ) =/= (/) ) )
20		oe0m1 7601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B +o C ) e. On -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B +o C ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) ) )
22	1	necon3abid 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( B +o C ) =/= (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
23	19, 21, 22	3bitr3d 298	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
24	23	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = (/) )
25		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
27		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
29	26, 28	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) ) )
30		neorian 2888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B =/= (/) \/ C =/= (/) ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) )
31	29, 30	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) <-> -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) )
32		oe0m1 7601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
33	32	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) )
35		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o C ) e. On )
36	9, 35	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. On -> ( (/) ^o C ) e. On )
37		om0r 7619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o C ) e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. On -> ( (/) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
39	34, 38	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ (/) e. B ) /\ C e. On ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
40	39	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
41		oe0m1 7601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. On -> ( (/) e. C <-> ( (/) ^o C ) = (/) ) )
42	41	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( (/) ^o C ) = (/) )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. On /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) )
44		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (/) e. On /\ B e. On ) -> ( (/) ^o B ) e. On )
45	9, 44	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) ^o B ) e. On )
46		om0 7597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) ^o B ) e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> ( ( (/) ^o B ) .o (/) ) = (/) )
48	43, 47	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ ( C e. On /\ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
49	48	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
50	40, 49	jaodan 826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. B \/ (/) e. C ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( (/) e. B \/ (/) e. C ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
52	31, 51	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( -. ( B = (/) /\ C = (/) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) = (/) )
54	24, 53	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ -. ( B = (/) /\ C = (/) ) ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
55	16, 54	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
56		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( (/) ^o ( B +o C ) ) )
57		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
58		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( A ^o C ) = ( (/) ^o C ) )
59	57, 58	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) )
60	56, 59	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( (/) ^o ( B +o C ) ) = ( ( (/) ^o B ) .o ( (/) ^o C ) ) ) )
61	55, 60	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
62	61	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
63		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) )
65		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A ^o C ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) )
66	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
67	63, 66	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
68	67	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( B +o C ) = ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) )
71		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) = ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) )
74	73	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. On , B , 1o ) -> ( ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( B +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o B ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) <-> ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) ) ) )
75		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( A e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
76		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. A <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
77	75, 76	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
78		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( 1o e. On <-> if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On ) )
79		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) )
80	78, 79	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( 1o = if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) -> ( ( 1o e. On /\ (/) e. 1o ) <-> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ) ) )
81		1on 7567	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
82		0lt1o 7584	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 1o
83	81, 82	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. On /\ (/) e. 1o )
84	77, 80, 83	elimhyp 4146	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On /\ (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) )
85	84	simpli 474	. . . . . . 7 |- if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) e. On
86	84	simpri 478	. . . . . . 7 |- (/) e. if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o )
87	81	elimel 4150	. . . . . . 7 |- if ( B e. On , B , 1o ) e. On
88	85, 86, 87	oeoalem 7676	. . . . . 6 |- ( C e. On -> ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o ( if ( B e. On , B , 1o ) +o C ) ) = ( ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o if ( B e. On , B , 1o ) ) .o ( if ( ( A e. On /\ (/) e. A ) , A , 1o ) ^o C ) ) )
89	68, 74, 88	dedth2h 4140	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
90	89	impr 649	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
91	90	an32s 846	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
92	62, 91	oe0lem 7593	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ C e. On ) ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
93	92	3impb 1260	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   ifcif 4086   Oncon0 5723  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeoelem  7678  infxpenc  8841