Theorem oeoelem 7678

Description: Lemma for oeoe 7679. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oeoelem.1	|- A e. On
oeoelem.2	|- (/) e. A

Assertion

Ref	Expression
oeoelem	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem oeoelem

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o (/) ) )
2		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o y ) )
6		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = y -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o suc y ) )
10		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( ( A ^o B ) ^o C ) )
14		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = C -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( x = C -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
17		oeoelem.1	. . . . . 6 |- A e. On
18		oecl 7617	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
19	17, 18	mpan 706	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A ^o B ) e. On )
20		oe0 7602	. . . . 5 |- ( ( A ^o B ) e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
21	19, 20	syl 17	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = 1o )
22		om0 7597	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( B .o (/) ) = (/) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A ^o ( B .o (/) ) ) = ( A ^o (/) ) )
24		oe0 7602	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A ^o (/) ) = 1o
26	23, 25	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( B e. On -> ( A ^o ( B .o (/) ) ) = 1o )
27	21, 26	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o (/) ) = ( A ^o ( B .o (/) ) ) )
28		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
29		oesuc 7607	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) )
30	19, 29	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) )
31		omsuc 7606	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B .o suc y ) ) = ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
33		omcl 7616	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o y ) e. On )
34		oeoa 7677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
35	17, 34	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
36	33, 35	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ y e. On ) /\ B e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
37	36	anabss1 855	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
38	32, 37	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B .o suc y ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) )
39	30, 38	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) .o ( A ^o B ) ) = ( ( A ^o ( B .o y ) ) .o ( A ^o B ) ) ) )
40	28, 39	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) )
41	40	expcom 451	. . 3 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o suc y ) = ( A ^o ( B .o suc y ) ) ) ) )
42		iuneq2 4537	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
43		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
44		oeoelem.2	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. A
45		oen0 7666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
46	44, 45	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> (/) e. ( A ^o B ) )
47		oelim 7614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ^o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. ( A ^o B ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
48	18, 47	sylanl1 682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. ( A ^o B ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
49	46, 48	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
50	49	anabss1 855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
51	17, 50	mpanl1 716	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
52	43, 51	mpanr1 719	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) )
53		omlim 7613	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( B .o x ) = U_ y e. x ( B .o y ) )
54	43, 53	mpanr1 719	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( B .o x ) = U_ y e. x ( B .o y ) )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) )
56	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> x e. _V )
57		limord 5784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> Ord x )
58		ordelon 5747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord x /\ y e. x ) -> y e. On )
59	57, 58	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> y e. On )
60	59, 33	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ ( Lim x /\ y e. x ) ) -> ( B .o y ) e. On )
61	60	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ y e. x ) -> ( B .o y ) e. On )
62	61	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> A. y e. x ( B .o y ) e. On )
63		0ellim 5787	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> (/) e. x )
64		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. x -> x =/= (/) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> x =/= (/) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> x =/= (/) )
67		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- w e. _V
68		oelim 7614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
69	44, 68	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
70	17, 69	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. _V /\ Lim w ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
71	67, 70	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( Lim w -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
72		oewordi 7671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
73	44, 72	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
74	17, 73	mp3an3 1413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
75	74	3impia 1261	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ z C_ w ) -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) )
76	71, 75	onoviun 7440	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( B .o y ) e. On /\ x =/= (/) ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
77	56, 62, 66, 76	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B .o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
78	55, 77	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A ^o ( B .o x ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) )
79	52, 78	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) <-> U_ y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = U_ y e. x ( A ^o ( B .o y ) ) ) )
80	42, 79	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) ) )
81	80	expcom 451	. . 3 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( A. y e. x ( ( A ^o B ) ^o y ) = ( A ^o ( B .o y ) ) -> ( ( A ^o B ) ^o x ) = ( A ^o ( B .o x ) ) ) ) )
82	4, 8, 12, 16, 27, 41, 81	tfinds3 7064	. 2 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) ) )
83	82	impcom 446	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o B ) ^o C ) = ( A ^o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeoe  7679