Theorem oeoalem 7676

Description: Lemma for oeoa 7677. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oeoalem.1	|- A e. On
oeoalem.2	|- (/) e. A
oeoalem.3	|- B e. On

Assertion

Ref	Expression
oeoalem	|- ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Proof of Theorem oeoalem

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
2	1	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = (/) -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( A ^o ( B +o (/) ) ) )
3		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
4	3	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o (/) ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o ( B +o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) <-> ( A ^o ( B +o (/) ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o (/) ) ) ) )
6		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
7	6	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = y -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( A ^o ( B +o y ) ) )
8		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
9	8	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = y -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = y -> ( ( A ^o ( B +o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) <-> ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
12	11	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = suc y -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( A ^o ( B +o suc y ) ) )
13		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
14	13	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o ( B +o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) <-> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
17	16	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = C -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( A ^o ( B +o C ) ) )
18		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = C -> ( A ^o x ) = ( A ^o C ) )
19	18	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = C -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = C -> ( ( A ^o ( B +o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) <-> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) ) )
21		oeoalem.1	. . . . 5 |- A e. On
22		oeoalem.3	. . . . 5 |- B e. On
23		oecl 7617	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ^o B ) e. On )
24	21, 22, 23	mp2an 708	. . . 4 |- ( A ^o B ) e. On
25		om1 7622	. . . 4 |- ( ( A ^o B ) e. On -> ( ( A ^o B ) .o 1o ) = ( A ^o B ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( A ^o B ) .o 1o ) = ( A ^o B )
27		oe0 7602	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
28	21, 27	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A ^o (/) ) = 1o
29	28	oveq2i 6661	. . 3 |- ( ( A ^o B ) .o ( A ^o (/) ) ) = ( ( A ^o B ) .o 1o )
30		oa0 7596	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( B +o (/) ) = B )
31	22, 30	ax-mp 5	. . . 4 |- ( B +o (/) ) = B
32	31	oveq2i 6661	. . 3 |- ( A ^o ( B +o (/) ) ) = ( A ^o B )
33	26, 29, 32	3eqtr4ri 2655	. 2 |- ( A ^o ( B +o (/) ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o (/) ) )
34		oasuc 7604	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( A ^o suc ( B +o y ) ) )
36		oacl 7615	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o y ) e. On )
37		oesuc 7607	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( B +o y ) e. On ) -> ( A ^o suc ( B +o y ) ) = ( ( A ^o ( B +o y ) ) .o A ) )
38	21, 36, 37	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc ( B +o y ) ) = ( ( A ^o ( B +o y ) ) .o A ) )
39	35, 38	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( ( A ^o ( B +o y ) ) .o A ) )
40	22, 39	mpan 706	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( ( A ^o ( B +o y ) ) .o A ) )
41		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) -> ( ( A ^o ( B +o y ) ) .o A ) = ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) )
42	40, 41	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) )
43		oecl 7617	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
44		omass 7660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ ( A ^o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) = ( ( A ^o B ) .o ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
45	24, 21, 44	mp3an13 1415	. . . . . . . 8 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) = ( ( A ^o B ) .o ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
46	43, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) = ( ( A ^o B ) .o ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
47		oesuc 7607	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
49	46, 48	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) )
50	21, 49	mpan 706	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) )
51	50	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) -> ( ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) .o A ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) )
52	42, 51	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( y e. On /\ ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) )
53	52	ex 450	. 2 |- ( y e. On -> ( ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) -> ( A ^o ( B +o suc y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o suc y ) ) ) )
54		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
55		oalim 7612	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( B +o x ) = U_ y e. x ( B +o y ) )
56	22, 55	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> ( B +o x ) = U_ y e. x ( B +o y ) )
57	54, 56	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( Lim x -> ( B +o x ) = U_ y e. x ( B +o y ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( A ^o U_ y e. x ( B +o y ) ) )
59	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( Lim x -> x e. _V )
60		limord 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> Ord x )
61		ordelon 5747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord x /\ y e. x ) -> y e. On )
62	60, 61	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> y e. On )
63	22, 62, 36	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( Lim x -> A. y e. x ( B +o y ) e. On )
65		0ellim 5787	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> (/) e. x )
66		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. x -> x =/= (/) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( Lim x -> x =/= (/) )
68		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
69		oeoalem.2	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. A
70		oelim 7614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
71	69, 70	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
72	21, 71	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. _V /\ Lim w ) -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
73	68, 72	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( Lim w -> ( A ^o w ) = U_ z e. w ( A ^o z ) )
74		oewordi 7671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
75	69, 74	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
76	21, 75	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z C_ w -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) ) )
77	76	3impia 1261	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ z C_ w ) -> ( A ^o z ) C_ ( A ^o w ) )
78	73, 77	onoviun 7440	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( B +o y ) e. On /\ x =/= (/) ) -> ( A ^o U_ y e. x ( B +o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) )
79	59, 64, 67, 78	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( A ^o U_ y e. x ( B +o y ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) )
80	58, 79	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( A ^o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) )
81		iuneq2 4537	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) -> U_ y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
82	80, 81	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A. y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
83		oelim 7614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
84	69, 83	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
85	21, 84	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
86	54, 85	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( Lim x -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o U_ y e. x ( A ^o y ) ) )
88	21, 62, 43	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> ( A ^o y ) e. On )
89	88	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( Lim x -> A. y e. x ( A ^o y ) e. On )
90		omlim 7613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^o B ) e. On /\ ( w e. _V /\ Lim w ) ) -> ( ( A ^o B ) .o w ) = U_ z e. w ( ( A ^o B ) .o z ) )
91	24, 90	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. _V /\ Lim w ) -> ( ( A ^o B ) .o w ) = U_ z e. w ( ( A ^o B ) .o z ) )
92	68, 91	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( Lim w -> ( ( A ^o B ) .o w ) = U_ z e. w ( ( A ^o B ) .o z ) )
93		omwordi 7651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ ( A ^o B ) e. On ) -> ( z C_ w -> ( ( A ^o B ) .o z ) C_ ( ( A ^o B ) .o w ) ) )
94	24, 93	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ w e. On ) -> ( z C_ w -> ( ( A ^o B ) .o z ) C_ ( ( A ^o B ) .o w ) ) )
95	94	3impia 1261	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. On /\ w e. On /\ z C_ w ) -> ( ( A ^o B ) .o z ) C_ ( ( A ^o B ) .o w ) )
96	92, 95	onoviun 7440	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( A ^o y ) e. On /\ x =/= (/) ) -> ( ( A ^o B ) .o U_ y e. x ( A ^o y ) ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
97	59, 89, 67, 96	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( ( A ^o B ) .o U_ y e. x ( A ^o y ) ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
98	87, 97	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
99	98	adantr 481	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A. y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) -> ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) = U_ y e. x ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) )
100	82, 99	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( Lim x /\ A. y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) ) -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) )
101	100	ex 450	. 2 |- ( Lim x -> ( A. y e. x ( A ^o ( B +o y ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o y ) ) -> ( A ^o ( B +o x ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o x ) ) ) )
102	5, 10, 15, 20, 33, 53, 101	tfinds 7059	1 |- ( C e. On -> ( A ^o ( B +o C ) ) = ( ( A ^o B ) .o ( A ^o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeoa  7677