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Theorem infxpenc 8841
Description: A canonical version of infxpen 8837, by a completely different approach (although it uses infxpen 8837 via xpomen 8838). Using Cantor's normal form, we can show that A ^o B respects equinumerosity (oef1o 8595), so that all the steps of ( om ^ W ) x. ( om ^ W ) ~~ om ^ ( 2 W ) ~~ ( om ^ 2 ) ^ W ~~ om ^ W can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on N can be satisfied using cnfcom3c 8603.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc.1 |- ( ph -> A e. On )
infxpenc.2 |- ( ph -> om C_ A )
infxpenc.3 |- ( ph -> W e. ( On \ 1o ) )
infxpenc.4 |- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc.5 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
infxpenc.6 |- ( ph -> N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
infxpenc.k |- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
infxpenc.h |- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
infxpenc.l |- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
infxpenc.x |- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
infxpenc.y |- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
infxpenc.j |- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
infxpenc.z |- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
infxpenc.t |- T = ( x e. A , y e. A |-> <. ( N ` x ) , ( N ` y ) >. )
infxpenc.g |- G = ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc |- ( ph -> G : ( A X. A ) -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, N, y   ph, x, y   x, w, y, z, W   x, X, y   x, Y, y
Allowed substitution hints:   ph( z, w)   A( z, w)   T( x, y, z, w)   F( z, w)   G( x, y, z, w)   H( x, y, z, w)   J( x, y, z, w)   K( x, y, z, w)   L( x, y, z, w)   N( z, w)   X( z, w)   Y( z, w)   Z( x, y, z, w)
Proof of Theorem infxpenc
StepHypRef Expression
1 infxpenc.6 . . . 4 |- ( ph -> N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
2 f1ocnv 6149 . . . 4 |- ( N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> `' N : ( om ^o W ) -1-1-onto-> A )
31, 2syl 17 . . 3 |- ( ph -> `' N : ( om ^o W ) -1-1-onto-> A )
4 infxpenc.4 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
5 f1oi 6174 . . . . . . . . 9 |- ( _I |` W ) : W -1-1-onto-> W
65a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( _I |` W ) : W -1-1-onto-> W )
7 omelon 8543 . . . . . . . . . . 11 |- om e. On
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> om e. On )
9 2on 7568 . . . . . . . . . 10 |- 2o e. On
10 oecl 7617 . . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. On /\ 2o e. On ) -> ( om ^o 2o ) e. On )
118, 9, 10sylancl 694 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( om ^o 2o ) e. On )
129a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2o e. On )
13 peano1 7085 . . . . . . . . . . 11 |- (/) e. om
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. om )
15 oen0 7666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. On /\ 2o e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o 2o ) )
168, 12, 14, 15syl21anc 1325 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. ( om ^o 2o ) )
17 ondif1 7581 . . . . . . . . 9 |- ( ( om ^o 2o ) e. ( On \ 1o ) <-> ( ( om ^o 2o ) e. On /\ (/) e. ( om ^o 2o ) ) )
1811, 16, 17sylanbrc 698 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( om ^o 2o ) e. ( On \ 1o ) )
19 infxpenc.3 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( On \ 1o ) )
2019eldifad 3586 . . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. On )
21 infxpenc.5 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
22 infxpenc.k . . . . . . . 8 |- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
23 infxpenc.h . . . . . . . 8 |- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1o 8595 . . . . . . 7 |- ( ph -> H : ( ( om ^o 2o ) ^o W ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
25 f1oi 6174 . . . . . . . . . 10 |- ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( _I |` om ) : om -1-1-onto-> om )
27 infxpenc.x . . . . . . . . . . 11 |- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
28 infxpenc.y . . . . . . . . . . 11 |- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
2927, 28omf1o 8063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. On /\ 2o e. On ) -> ( Y o. `' X ) : ( W .o 2o ) -1-1-onto-> ( 2o .o W ) )
3020, 9, 29sylancl 694 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y o. `' X ) : ( W .o 2o ) -1-1-onto-> ( 2o .o W ) )
31 ondif1 7581 . . . . . . . . . . 11 |- ( om e. ( On \ 1o ) <-> ( om e. On /\ (/) e. om ) )
327, 13, 31mpbir2an 955 . . . . . . . . . 10 |- om e. ( On \ 1o )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> om e. ( On \ 1o ) )
34 omcl 7616 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. On /\ 2o e. On ) -> ( W .o 2o ) e. On )
3520, 9, 34sylancl 694 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W .o 2o ) e. On )
36 omcl 7616 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2o e. On /\ W e. On ) -> ( 2o .o W ) e. On )
3712, 20, 36syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2o .o W ) e. On )
38 fvresi 6439 . . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. om -> ( ( _I |` om ) ` (/) ) = (/) )
3913, 38mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( _I |` om ) ` (/) ) = (/) )
40 infxpenc.l . . . . . . . . 9 |- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
41 infxpenc.j . . . . . . . . 9 |- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1o 8595 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o ( 2o .o W ) ) )
43 oeoe 7679 . . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. On /\ 2o e. On /\ W e. On ) -> ( ( om ^o 2o ) ^o W ) = ( om ^o ( 2o .o W ) ) )
448, 12, 20, 43syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( om ^o 2o ) ^o W ) = ( om ^o ( 2o .o W ) ) )
45 f1oeq3 6129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( om ^o 2o ) ^o W ) = ( om ^o ( 2o .o W ) ) -> ( J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o 2o ) ^o W ) <-> J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o ( 2o .o W ) ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o 2o ) ^o W ) <-> J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o ( 2o .o W ) ) ) )
4742, 46mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o 2o ) ^o W ) )
48 f1oco 6159 . . . . . . 7 |- ( ( H : ( ( om ^o 2o ) ^o W ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) /\ J : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o 2o ) ^o W ) ) -> ( H o. J ) : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
4924, 47, 48syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( H o. J ) : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
50 df-2o 7561 . . . . . . . . . . . 12 |- 2o = suc 1o
5150oveq2i 6661 . . . . . . . . . . 11 |- ( W .o 2o ) = ( W .o suc 1o )
52 1on 7567 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. On
53 omsuc 7606 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. On /\ 1o e. On ) -> ( W .o suc 1o ) = ( ( W .o 1o ) +o W ) )
5420, 52, 53sylancl 694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( W .o suc 1o ) = ( ( W .o 1o ) +o W ) )
5551, 54syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( W .o 2o ) = ( ( W .o 1o ) +o W ) )
56 om1 7622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. On -> ( W .o 1o ) = W )
5720, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( W .o 1o ) = W )
5857oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( W .o 1o ) +o W ) = ( W +o W ) )
5955, 58eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W .o 2o ) = ( W +o W ) )
6059oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( om ^o ( W .o 2o ) ) = ( om ^o ( W +o W ) ) )
61 oeoa 7677 . . . . . . . . 9 |- ( ( om e. On /\ W e. On /\ W e. On ) -> ( om ^o ( W +o W ) ) = ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) )
628, 20, 20, 61syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( om ^o ( W +o W ) ) = ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) )
6360, 62eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( om ^o ( W .o 2o ) ) = ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) )
64 f1oeq2 6128 . . . . . . 7 |- ( ( om ^o ( W .o 2o ) ) = ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) -> ( ( H o. J ) : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( H o. J ) : ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
6563, 64syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( H o. J ) : ( om ^o ( W .o 2o ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( H o. J ) : ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
6649, 65mpbid 222 . . . . 5 |- ( ph -> ( H o. J ) : ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
67 oecl 7617 . . . . . . 7 |- ( ( om e. On /\ W e. On ) -> ( om ^o W ) e. On )
688, 20, 67syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( om ^o W ) e. On )
69 infxpenc.z . . . . . . 7 |- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
7069omxpenlem 8061 . . . . . 6 |- ( ( ( om ^o W ) e. On /\ ( om ^o W ) e. On ) -> Z : ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) )
7168, 68, 70syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> Z : ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) )
72 f1oco 6159 . . . . 5 |- ( ( ( H o. J ) : ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) /\ Z : ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( om ^o W ) ) ) -> ( ( H o. J ) o. Z ) : ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
7366, 71, 72syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( ( H o. J ) o. Z ) : ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
74 f1of 6137 . . . . . . . . . 10 |- ( N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> N : A --> ( om ^o W ) )
751, 74syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N : A --> ( om ^o W ) )
7675feqmptd 6249 . . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( x e. A |-> ( N ` x ) ) )
77 f1oeq1 6127 . . . . . . . 8 |- ( N = ( x e. A |-> ( N ` x ) ) -> ( N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( x e. A |-> ( N ` x ) ) : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( x e. A |-> ( N ` x ) ) : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
791, 78mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( N ` x ) ) : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
8075feqmptd 6249 . . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( y e. A |-> ( N ` y ) ) )
81 f1oeq1 6127 . . . . . . . 8 |- ( N = ( y e. A |-> ( N ` y ) ) -> ( N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( y e. A |-> ( N ` y ) ) : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
8280, 81syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( N : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( y e. A |-> ( N ` y ) ) : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
831, 82mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( N ` y ) ) : A -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
8479, 83xpf1o 8122 . . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A , y e. A |-> <. ( N ` x ) , ( N ` y ) >. ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) )
85 infxpenc.t . . . . . 6 |- T = ( x e. A , y e. A |-> <. ( N ` x ) , ( N ` y ) >. )
86 f1oeq1 6127 . . . . . 6 |- ( T = ( x e. A , y e. A |-> <. ( N ` x ) , ( N ` y ) >. ) -> ( T : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) <-> ( x e. A , y e. A |-> <. ( N ` x ) , ( N ` y ) >. ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5 |- ( T : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) <-> ( x e. A , y e. A |-> <. ( N ` x ) , ( N ` y ) >. ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) )
8884, 87sylibr 224 . . . 4 |- ( ph -> T : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) )
89 f1oco 6159 . . . 4 |- ( ( ( ( H o. J ) o. Z ) : ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) /\ T : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) X. ( om ^o W ) ) ) -> ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
9073, 88, 89syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
91 f1oco 6159 . . 3 |- ( ( `' N : ( om ^o W ) -1-1-onto-> A /\ ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) -> ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> A )
923, 90, 91syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> A )
93 infxpenc.g . . 3 |- G = ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )
94 f1oeq1 6127 . . 3 |- ( G = ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) ) -> ( G : ( A X. A ) -1-1-onto-> A <-> ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> A ) )
9593, 94ax-mp 5 . 2 |- ( G : ( A X. A ) -1-1-onto-> A <-> ( `' N o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) ) : ( A X. A ) -1-1-onto-> A )
9692, 95sylibr 224 1 |- ( ph -> G : ( A X. A ) -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   CNF ccnf 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  8843
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