Theorem oewordri 7672

Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oewordri	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )

Proof of Theorem oewordri

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
2		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B ^o x ) = ( B ^o (/) ) )
3	1, 2	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) <-> ( A ^o (/) ) C_ ( B ^o (/) ) ) )
4		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
5		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B ^o x ) = ( B ^o y ) )
6	4, 5	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) <-> ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
8		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B ^o x ) = ( B ^o suc y ) )
9	7, 8	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) <-> ( A ^o suc y ) C_ ( B ^o suc y ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A ^o x ) = ( A ^o C ) )
11		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = C -> ( B ^o x ) = ( B ^o C ) )
12	10, 11	sseq12d 3634	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) <-> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
13		onelon 5748	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
14		oe0 7602	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( A ^o (/) ) = 1o )
16		oe0 7602	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( B ^o (/) ) = 1o )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( B ^o (/) ) = 1o )
18	15, 17	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( A ^o (/) ) = ( B ^o (/) ) )
19		eqimss 3657	. . . . 5 |- ( ( A ^o (/) ) = ( B ^o (/) ) -> ( A ^o (/) ) C_ ( B ^o (/) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( A ^o (/) ) C_ ( B ^o (/) ) )
21		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> B e. On )
22		onelss 5766	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A C_ B ) )
23	22	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A C_ B )
24	13, 21, 23	jca31 557	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ A C_ B ) )
25		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
26	25	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
27		oecl 7617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B ^o y ) e. On )
28	27	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( B ^o y ) e. On )
29		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> A e. On )
30		omwordri 7652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^o y ) e. On /\ ( B ^o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o A ) ) )
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o A ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o A ) )
33	32	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A C_ B /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o A ) )
34		omwordi 7651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( B ^o y ) e. On ) -> ( A C_ B -> ( ( B ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o B ) ) )
35	28, 34	syld3an3 1371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( A C_ B -> ( ( B ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o B ) ) )
36	35	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ A C_ B ) -> ( ( B ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o B ) )
37	36	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A C_ B /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) ) -> ( ( B ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o B ) )
38	33, 37	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A C_ B /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) C_ ( ( B ^o y ) .o B ) )
39		oesuc 7607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
40	39	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A C_ B /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
42		oesuc 7607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B ^o suc y ) = ( ( B ^o y ) .o B ) )
43	42	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( B ^o suc y ) = ( ( B ^o y ) .o B ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A C_ B /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) ) -> ( B ^o suc y ) = ( ( B ^o y ) .o B ) )
45	38, 41, 44	3sstr4d 3648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) /\ ( A C_ B /\ ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) ) ) -> ( A ^o suc y ) C_ ( B ^o suc y ) )
46	45	exp520 1288	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( y e. On -> ( A C_ B -> ( ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o suc y ) C_ ( B ^o suc y ) ) ) ) ) )
47	46	com3r 87	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( B e. On -> ( A C_ B -> ( ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o suc y ) C_ ( B ^o suc y ) ) ) ) ) )
48	47	imp4c 617	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ A C_ B ) -> ( ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o suc y ) C_ ( B ^o suc y ) ) ) )
49	24, 48	syl5 34	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o suc y ) C_ ( B ^o suc y ) ) ) )
50		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
51		limelon 5788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
52	50, 51	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> x e. On )
53		0ellim 5787	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> (/) e. x )
54		oe0m1 7601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
55	54	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ (/) e. x ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
56	52, 53, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( (/) ^o x ) = (/) )
57		0ss 3972	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ ( B ^o x )
58	56, 57	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> ( (/) ^o x ) C_ ( B ^o x ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A ^o x ) = ( (/) ^o x ) )
60	59	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) <-> ( (/) ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) )
61	58, 60	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( Lim x -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. On /\ A e. B ) /\ A = (/) ) -> ( Lim x -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) )
63	62	a1dd 50	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. On /\ A e. B ) /\ A = (/) ) -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) ) )
64		ss2iun 4536	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> U_ y e. x ( A ^o y ) C_ U_ y e. x ( B ^o y ) )
65		oelim 7614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
66	50, 65	mpanlr1 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
67	66	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ (/) e. A ) /\ Lim x ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
68	67	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) /\ (/) e. A ) /\ Lim x ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
69	21	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ A e. B ) /\ Lim x ) -> ( B e. On /\ Lim x ) )
70		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. B -> B =/= (/) )
71		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
72	70, 71	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> (/) e. B )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ A e. B ) /\ Lim x ) -> (/) e. B )
75		oelim 7614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. B ) -> ( B ^o x ) = U_ y e. x ( B ^o y ) )
76	50, 75	mpanlr1 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) -> ( B ^o x ) = U_ y e. x ( B ^o y ) )
77	69, 74, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ A e. B ) /\ Lim x ) -> ( B ^o x ) = U_ y e. x ( B ^o y ) )
78	77	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. On /\ A e. B ) /\ (/) e. A ) /\ Lim x ) -> ( B ^o x ) = U_ y e. x ( B ^o y ) )
79	78	adantlll 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) /\ (/) e. A ) /\ Lim x ) -> ( B ^o x ) = U_ y e. x ( B ^o y ) )
80	68, 79	sseq12d 3634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) /\ (/) e. A ) /\ Lim x ) -> ( ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) <-> U_ y e. x ( A ^o y ) C_ U_ y e. x ( B ^o y ) ) )
81	64, 80	syl5ibr 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) /\ (/) e. A ) /\ Lim x ) -> ( A. y e. x ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) )
82	81	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) ) )
83	63, 82	oe0lem 7593	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) ) )
84	13	ancri 575	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( A e. On /\ ( B e. On /\ A e. B ) ) )
85	83, 84	syl11 33	. . . 4 |- ( Lim x -> ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( A. y e. x ( A ^o y ) C_ ( B ^o y ) -> ( A ^o x ) C_ ( B ^o x ) ) ) )
86	3, 6, 9, 12, 20, 49, 85	tfinds3 7064	. . 3 |- ( C e. On -> ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
87	86	expd 452	. 2 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) ) )
88	87	impcom 446	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   .o comu 7558   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeordsuc  7674