Theorem oeworde 7673

Description: Ordinal exponentiation compared to its exponent. Proposition 8.37 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeworde	|- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. On ) -> B C_ ( A ^o B ) )

Proof of Theorem oeworde

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 |- ( x = (/) -> x = (/) )
2		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
3	1, 2	sseq12d 3634	. . 3 |- ( x = (/) -> ( x C_ ( A ^o x ) <-> (/) C_ ( A ^o (/) ) ) )
4		id 22	. . . 4 |- ( x = y -> x = y )
5		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
6	4, 5	sseq12d 3634	. . 3 |- ( x = y -> ( x C_ ( A ^o x ) <-> y C_ ( A ^o y ) ) )
7		id 22	. . . 4 |- ( x = suc y -> x = suc y )
8		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
9	7, 8	sseq12d 3634	. . 3 |- ( x = suc y -> ( x C_ ( A ^o x ) <-> suc y C_ ( A ^o suc y ) ) )
10		id 22	. . . 4 |- ( x = B -> x = B )
11		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
12	10, 11	sseq12d 3634	. . 3 |- ( x = B -> ( x C_ ( A ^o x ) <-> B C_ ( A ^o B ) ) )
13		0ss 3972	. . . 4 |- (/) C_ ( A ^o (/) )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> (/) C_ ( A ^o (/) ) )
15		eloni 5733	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> Ord y )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> Ord y )
17		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> A e. On )
18		oecl 7617	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
19	17, 18	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
20		eloni 5733	. . . . . . 7 |- ( ( A ^o y ) e. On -> Ord ( A ^o y ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> Ord ( A ^o y ) )
22		ordsucsssuc 7023	. . . . . 6 |- ( ( Ord y /\ Ord ( A ^o y ) ) -> ( y C_ ( A ^o y ) <-> suc y C_ suc ( A ^o y ) ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( y C_ ( A ^o y ) <-> suc y C_ suc ( A ^o y ) ) )
24		suceloni 7013	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> suc y e. On )
25		oecl 7617	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ suc y e. On ) -> ( A ^o suc y ) e. On )
26	17, 24, 25	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) e. On )
27		eloni 5733	. . . . . . . 8 |- ( ( A ^o suc y ) e. On -> Ord ( A ^o suc y ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> Ord ( A ^o suc y ) )
29		id 22	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> A e. ( On \ 2o ) )
30		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
31	30	sucid 5804	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
32		oeordi 7667	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. On /\ A e. ( On \ 2o ) ) -> ( y e. suc y -> ( A ^o y ) e. ( A ^o suc y ) ) )
33	31, 32	mpi 20	. . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. On /\ A e. ( On \ 2o ) ) -> ( A ^o y ) e. ( A ^o suc y ) )
34	24, 29, 33	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. ( A ^o suc y ) )
35		ordsucss 7018	. . . . . . 7 |- ( Ord ( A ^o suc y ) -> ( ( A ^o y ) e. ( A ^o suc y ) -> suc ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
36	28, 34, 35	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> suc ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) )
37		sstr2 3610	. . . . . 6 |- ( suc y C_ suc ( A ^o y ) -> ( suc ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) -> suc y C_ ( A ^o suc y ) ) )
38	36, 37	syl5com 31	. . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( suc y C_ suc ( A ^o y ) -> suc y C_ ( A ^o suc y ) ) )
39	23, 38	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( y C_ ( A ^o y ) -> suc y C_ ( A ^o suc y ) ) )
40	39	expcom 451	. . 3 |- ( y e. On -> ( A e. ( On \ 2o ) -> ( y C_ ( A ^o y ) -> suc y C_ ( A ^o suc y ) ) ) )
41		dif20el 7585	. . . . 5 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> (/) e. A )
42	17, 41	jca 554	. . . 4 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> ( A e. On /\ (/) e. A ) )
43		ss2iun 4536	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y C_ ( A ^o y ) -> U_ y e. x y C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
44		limuni 5785	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> x = U. x )
45		uniiun 4573	. . . . . . . . 9 |- U. x = U_ y e. x y
46	44, 45	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> x = U_ y e. x y )
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> x = U_ y e. x y )
48		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
49		oelim 7614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
50	48, 49	mpanlr1 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
51	50	anasss 679	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
52	51	an12s 843	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
53	47, 52	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( x C_ ( A ^o x ) <-> U_ y e. x y C_ U_ y e. x ( A ^o y ) ) )
54	43, 53	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( A. y e. x y C_ ( A ^o y ) -> x C_ ( A ^o x ) ) )
55	54	ex 450	. . . 4 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( A. y e. x y C_ ( A ^o y ) -> x C_ ( A ^o x ) ) ) )
56	42, 55	syl5 34	. . 3 |- ( Lim x -> ( A e. ( On \ 2o ) -> ( A. y e. x y C_ ( A ^o y ) -> x C_ ( A ^o x ) ) ) )
57	3, 6, 9, 12, 14, 40, 56	tfinds3 7064	. 2 |- ( B e. On -> ( A e. ( On \ 2o ) -> B C_ ( A ^o B ) ) )
58	57	impcom 446	1 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. On ) -> B C_ ( A ^o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   2oc2o 7554   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeeulem  7681  cnfcom3clem  8602