Theorem isarchi3 29741

Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi3.b	|- B = ( Base ` W )
isarchi3.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isarchi3.i	|- .< = ( lt ` W )
isarchi3.x	|- .x. = (.g ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchi3	|- ( W e. oGrp -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, B   n, W, x, y   .< , n   .x. , n   .0. , n

Allowed substitution hints:   .< ( x, y)   .x. ( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi3

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isogrp 29702	. . . . 5 |- ( W e. oGrp <-> ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) )
2	1	simprbi 480	. . . 4 |- ( W e. oGrp -> W e. oMnd )
3		omndtos 29705	. . . 4 |- ( W e. oMnd -> W e. Toset )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( W e. oGrp -> W e. Toset )
5		grpmnd 17429	. . . . 5 |- ( W e. Grp -> W e. Mnd )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) -> W e. Mnd )
7	1, 6	sylbi 207	. . 3 |- ( W e. oGrp -> W e. Mnd )
8		isarchi3.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
9		isarchi3.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
10		isarchi3.x	. . . 4 |- .x. = (.g ` W )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` W ) = ( le ` W )
12		isarchi3.i	. . . 4 |- .< = ( lt ` W )
13	8, 9, 10, 11, 12	isarchi2 29739	. . 3 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) ) )
14	4, 7, 13	syl2anc 693	. 2 |- ( W e. oGrp -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> n e. NN )
17	16	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
18		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> W e. oGrp )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> W e. oGrp )
20		ogrpgrp 29703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. oGrp -> W e. Grp )
21	8, 9	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Grp -> .0. e. B )
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> .0. e. B )
23		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> x e. B )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> x e. B )
25	20	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> W e. Grp )
26	15	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
27	8, 10	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Grp /\ n e. ZZ /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
28	25, 26, 23, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> ( n .x. x ) e. B )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( n .x. x ) e. B )
30		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> .0. .< x )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
32	8, 12, 31	ogrpaddlt 29718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. oGrp /\ ( .0. e. B /\ x e. B /\ ( n .x. x ) e. B ) /\ .0. .< x ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) .< ( x ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) )
33	19, 22, 24, 29, 30, 32	syl131anc 1339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) .< ( x ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) )
34	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> W e. Grp )
35	8, 31, 9	grplid 17452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Grp /\ ( n .x. x ) e. B ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) = ( n .x. x ) )
36	34, 29, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) = ( n .x. x ) )
37		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. CC )
38		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
39		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n + 1 ) = ( 1 + n ) )
40	37, 38, 39	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) = ( 1 + n ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n + 1 ) .x. x ) = ( ( 1 + n ) .x. x ) )
42	16, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( ( n + 1 ) .x. x ) = ( ( 1 + n ) .x. x ) )
43		grpsgrp 17446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Grp -> W e. SGrp )
44	19, 20, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> W e. SGrp )
45		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> 1 e. NN )
47	8, 10, 31	mulgnndir 17569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. SGrp /\ ( 1 e. NN /\ n e. NN /\ x e. B ) ) -> ( ( 1 + n ) .x. x ) = ( ( 1 .x. x ) ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) )
48	44, 46, 16, 24, 47	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( ( 1 + n ) .x. x ) = ( ( 1 .x. x ) ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) )
49	8, 10	mulg1 17548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. B -> ( 1 .x. x ) = x )
50	24, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( 1 .x. x ) = x )
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( ( 1 .x. x ) ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) = ( x ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) )
52	42, 48, 51	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( x ( +g ` W ) ( n .x. x ) ) = ( ( n + 1 ) .x. x ) )
53	33, 36, 52	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> ( n .x. x ) .< ( ( n + 1 ) .x. x ) )
54		tospos 29658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Toset -> W e. Poset )
55	18, 4, 54	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> W e. Poset )
56		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> y e. B )
57	26	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
58	8, 10	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Grp /\ ( n + 1 ) e. ZZ /\ x e. B ) -> ( ( n + 1 ) .x. x ) e. B )
59	25, 57, 23, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> ( ( n + 1 ) .x. x ) e. B )
60	8, 11, 12	plelttr 16972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Poset /\ ( y e. B /\ ( n .x. x ) e. B /\ ( ( n + 1 ) .x. x ) e. B ) ) -> ( ( y ( le ` W ) ( n .x. x ) /\ ( n .x. x ) .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) -> y .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) )
61	55, 56, 28, 59, 60	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> ( ( y ( le ` W ) ( n .x. x ) /\ ( n .x. x ) .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) -> y .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) )
62	61	impl 650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) /\ ( n .x. x ) .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) -> y .< ( ( n + 1 ) .x. x ) )
63	53, 62	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> y .< ( ( n + 1 ) .x. x ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m .x. x ) = ( ( n + 1 ) .x. x ) )
65	64	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( y .< ( m .x. x ) <-> y .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) )
66	65	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN /\ y .< ( ( n + 1 ) .x. x ) ) -> E. m e. NN y .< ( m .x. x ) )
67	17, 63, 66	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) /\ y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> E. m e. NN y .< ( m .x. x ) )
68	67	r19.29an 3077	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> E. m e. NN y .< ( m .x. x ) )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( m .x. x ) = ( n .x. x ) )
70	69	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( y .< ( m .x. x ) <-> y .< ( n .x. x ) ) )
71	70	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. m e. NN y .< ( m .x. x ) <-> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) )
72	68, 71	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) )
73	11, 12	pltle 16961	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. oGrp /\ y e. B /\ ( n .x. x ) e. B ) -> ( y .< ( n .x. x ) -> y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) )
74	18, 56, 28, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ n e. NN ) -> ( y .< ( n .x. x ) -> y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) )
75	74	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) -> ( E. n e. NN y .< ( n .x. x ) -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) )
76	75	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) /\ E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) )
77	72, 76	impbida 877	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) /\ .0. .< x ) -> ( E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) <-> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) )
78	77	pm5.74da 723	. . . 4 |- ( ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) ) )
79	78	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( W e. oGrp /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) <-> A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) ) )
80	79	ralbidva 2985	. 2 |- ( W e. oGrp -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y ( le ` W ) ( n .x. x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) ) )
81	14, 80	bitrd 268	1 |- ( W e. oGrp -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   lecple 15948   0gc0g 16100   Posetcpo 16940   ltcplt 16941  Tosetctos 17033  SGrpcsgrp 17283   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  oMndcomnd 29697  oGrpcogrp 29698  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by:  archiexdiv  29744  isarchiofld  29817