Theorem pmtrfinv 17881

Description: A transposition function is an involution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T

Assertion

Ref	Expression
pmtrfinv	|- ( F e. R -> ( F o. F ) = ( _I |` D ) )

Proof of Theorem pmtrfinv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . . 7 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . . . 7 |- R = ran T
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- dom ( F \ _I ) = dom ( F \ _I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 17878	. . . . . 6 |- ( F e. R -> ( ( D e. _V /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) /\ F = ( T ` dom ( F \ _I ) ) ) )
5	4	simpld 475	. . . . 5 |- ( F e. R -> ( D e. _V /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) )
6	1	pmtrf 17875	. . . . 5 |- ( ( D e. _V /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> ( T ` dom ( F \ _I ) ) : D --> D )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( F e. R -> ( T ` dom ( F \ _I ) ) : D --> D )
8	4	simprd 479	. . . . 5 |- ( F e. R -> F = ( T ` dom ( F \ _I ) ) )
9	8	feq1d 6030	. . . 4 |- ( F e. R -> ( F : D --> D <-> ( T ` dom ( F \ _I ) ) : D --> D ) )
10	7, 9	mpbird 247	. . 3 |- ( F e. R -> F : D --> D )
11		fco 6058	. . . 4 |- ( ( F : D --> D /\ F : D --> D ) -> ( F o. F ) : D --> D )
12	11	anidms 677	. . 3 |- ( F : D --> D -> ( F o. F ) : D --> D )
13		ffn 6045	. . 3 |- ( ( F o. F ) : D --> D -> ( F o. F ) Fn D )
14	10, 12, 13	3syl 18	. 2 |- ( F e. R -> ( F o. F ) Fn D )
15		fnresi 6008	. . 3 |- ( _I |` D ) Fn D
16	15	a1i 11	. 2 |- ( F e. R -> ( _I |` D ) Fn D )
17	1, 2, 3	pmtrffv 17879	. . . . . . 7 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( F ` x ) = if ( x e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) , x ) )
18		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( F \ _I ) -> if ( x e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) , x ) = U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) )
19	17, 18	sylan9eq 2676	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` x ) = U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` ( F ` x ) ) = ( F ` U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
21		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> F e. R )
22	5	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) C_ D )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> dom ( F \ _I ) C_ D )
24		1onn 7719	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> 1o e. om )
26	5	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
27		df-2o 7561	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
28	26, 27	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ suc 1o )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> dom ( F \ _I ) ~~ suc 1o )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> x e. dom ( F \ _I ) )
31		dif1en 8193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. om /\ dom ( F \ _I ) ~~ suc 1o /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o )
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o )
33		en1uniel 8028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) )
35	34	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) )
36	23, 35	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. D )
37	1, 2, 3	pmtrffv 17879	. . . . . . 7 |- ( ( F e. R /\ U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. D ) -> ( F ` U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) = if ( U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
38	21, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) = if ( U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
39		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) -> if ( U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) = U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) )
40	35, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> if ( U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) = U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) )
41	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
42		en2other2 8832	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( F \ _I ) /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) = x )
43	42	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) = x )
44	41, 43	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) = x )
45	40, 44	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> if ( U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) e. dom ( F \ _I ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) } ) , U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) = x )
46	38, 45	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` U. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) = x )
47	20, 46	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` ( F ` x ) ) = x )
48		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : D --> D -> F Fn D )
49	10, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F e. R -> F Fn D )
50		fnelnfp 6443	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn D /\ x e. D ) -> ( x e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` x ) =/= x ) )
51	49, 50	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( x e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` x ) =/= x ) )
52	51	necon2bbid 2837	. . . . . 6 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( ( F ` x ) = x <-> -. x e. dom ( F \ _I ) ) )
53	52	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ -. x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` x ) = x )
54		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) = x -> ( F ` ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
55		id 22	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) = x -> ( F ` x ) = x )
56	54, 55	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( F ` x ) = x -> ( F ` ( F ` x ) ) = x )
57	53, 56	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F e. R /\ x e. D ) /\ -. x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` ( F ` x ) ) = x )
58	47, 57	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( F ` ( F ` x ) ) = x )
59		fvco2 6273	. . . 4 |- ( ( F Fn D /\ x e. D ) -> ( ( F o. F ) ` x ) = ( F ` ( F ` x ) ) )
60	49, 59	sylan 488	. . 3 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( ( F o. F ) ` x ) = ( F ` ( F ` x ) ) )
61		fvresi 6439	. . . 4 |- ( x e. D -> ( ( _I |` D ) ` x ) = x )
62	61	adantl 482	. . 3 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( ( _I |` D ) ` x ) = x )
63	58, 60, 62	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( F e. R /\ x e. D ) -> ( ( F o. F ) ` x ) = ( ( _I |` D ) ` x ) )
64	14, 16, 63	eqfnfvd 6314	1 |- ( F e. R -> ( F o. F ) = ( _I |` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrff1o  17883  pmtrfcnv  17884  symggen  17890  psgnunilem1  17913