alexsubALT - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > alexsubALT		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem alexsubALT 21855

Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
alexsubALT.1

**Assertion**
Ref	Expression
alexsubALT	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem alexsubALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexsubALT.1	. . 3
2	1	alexsubALTlem1 21851	. 2 $/\$
3	1	alexsubALTlem4 21854	. . . . 5
4		selpw 4165	. . . . . . . . 9
5		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6	5	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
7		eluni 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
8		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10		tg2 20769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
11	10	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
12	9, 11	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
13	8, 12	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
14	13	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
15		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16	15	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17	16	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18	17	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
19	18	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	14, 20	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
24	23	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
26	7, 25	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
27	26	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
28	6, 27	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
29		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
31	30	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32	6	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
33	31, 32	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
34	29, 33	syl9r 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
35	34	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
37	36	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
38	37	rexlimdvw 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
39	28, 38	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
40		elunirab 4448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
41	39, 40	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
42	41	eqrdv 2620	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	44	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46	43, 45	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . 15
47		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48	47	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50	49	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	50	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	48, 51	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	46, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
55	42, 54	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
56		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
58		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
59	58	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
60	59	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
61	60	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
62	57, 61	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
63	62	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65	64	ac6sfi 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
66	65	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
67	63, 66	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
74		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	73, 74	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
77	76	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78		fodomfi 8239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
79	72, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		domfi 8181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
81	72, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	71, 81	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
84		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
85	84	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
86	85	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
87	83, 86	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
88	82, 87	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
91		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		ss2iun 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		fniunfv 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
96	69, 73, 95	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	94, 96	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	89, 97	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	71, 99	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
102	101, 1	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
103	100, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	98, 103	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106	105	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
107	106	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
108	88, 104, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	109	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	68, 110	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
113	112	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	113	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
115	56, 114	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
116	115	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
117	55, 116	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
118	117	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11
119	118	com34 91	. . . . . . . . . 10
120	119	com23 86	. . . . . . . . 9
121	4, 120	syl7bi 245	. . . . . . . 8
122	121	ralrimdv 2968	. . . . . . 7
123		fibas 20781	. . . . . . . . 9
124		tgcl 20773	. . . . . . . . 9
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . 8
126		eleq1 2689	. . . . . . . 8
127	125, 126	mpbiri 248	. . . . . . 7
128	122, 127	jctild 566	. . . . . 6 $/\$
129	1	iscmp 21191	. . . . . 6 $/\$
130	128, 129	syl6ibr 242	. . . . 5
131	3, 130	syld 47	. . . 4
132	131	imp 445	. . 3 $/\$
133	132	exlimiv 1858	. 2 $/\$
134	2, 133	impbii 199	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cin 3573

wss 3574

cpw 4158

cuni 4436

ciun 4520 class class class wbr 4653

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

cfv 5888

cdom 7953

cfn 7955

cfi 8316

ctg 16098

ctop 20698

ctb 20749

ccmp 21189

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-rpss 6937 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-fin 7959 df-fi 8317 df-card 8765 df-ac 8939 df-topgen 16104 df-top 20699 df-bases 20750 df-cmp 21190

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator