Theorem pw2f1ocnv 37604

Description: Define a bijection between characteristic functions and subsets. EDITORIAL: extracted from pw2en 8067, which can be easily reproved in terms of this. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pw2f1o2.f	|- F = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
pw2f1ocnv	|- ( A e. V -> ( F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A /\ `' F = ( y e. ~P A |-> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, V, y

Allowed substitution hints:   F( x, y, z)   V( z)

Proof of Theorem pw2f1ocnv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2f1o2.f	. 2 |- F = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )
2		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
3	2	cnvex 7113	. . 3 |- `' x e. _V
4		imaexg 7103	. . 3 |- ( `' x e. _V -> ( `' x " { 1o } ) e. _V )
5	3, 4	mp1i 13	. 2 |- ( ( A e. V /\ x e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' x " { 1o } ) e. _V )
6		mptexg 6484	. . 3 |- ( A e. V -> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) e. _V )
7	6	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. V /\ y e. ~P A ) -> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) e. _V )
8		2on 7568	. . . . . 6 |- 2o e. On
9		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. On /\ A e. V ) -> ( x e. ( 2o ^m A ) <-> x : A --> 2o ) )
10	8, 9	mpan 706	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) <-> x : A --> 2o ) )
11	10	anbi1d 741	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) <-> ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) ) )
12		1on 7567	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. On
13	12	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
14	13	sucid 5804	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. suc 1o
15		df-2o 7561	. . . . . . . . . . 11 |- 2o = suc 1o
16	14, 15	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
17		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
18	17	prid1 4297	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
19		df2o2 7574	. . . . . . . . . . 11 |- 2o = { (/) , { (/) } }
20	18, 19	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. 2o
21	16, 20	keepel 4155	. . . . . . . . 9 |- if ( z e. y , 1o , (/) ) e. 2o
22	21	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. z e. A if ( z e. y , 1o , (/) ) e. 2o
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) )
24	23	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A if ( z e. y , 1o , (/) ) e. 2o <-> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) : A --> 2o )
25	22, 24	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) : A --> 2o
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) )
27	26	feq1d 6030	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( x : A --> 2o <-> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) : A --> 2o ) )
28	25, 27	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> x : A --> 2o )
29	26	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( x ` w ) = ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) )
30		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( z e. y <-> w e. y ) )
31	30	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> if ( z e. y , 1o , (/) ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
32	13, 17	keepel 4155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( w e. y , 1o , (/) ) e. _V
33	31, 23, 32	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. A -> ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
34	29, 33	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
35	34	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( x ` w ) = 1o <-> if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o ) )
36		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. y -> if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o )
37		noel 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. (/) e. (/)
38		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. w e. y -> if ( w e. y , 1o , (/) ) = (/) )
39	38	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. w e. y -> ( if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
40		0lt1o 7584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. 1o
41		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) = 1o -> ( (/) e. (/) <-> (/) e. 1o ) )
42	40, 41	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) = 1o -> (/) e. (/) )
43	39, 42	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. w e. y -> ( if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o -> (/) e. (/) ) )
44	37, 43	mtoi 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. w e. y -> -. if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o )
45	44	con4i 113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o -> w e. y )
46	36, 45	impbii 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. y <-> if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o )
47	35, 46	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. y <-> ( x ` w ) = 1o ) )
48		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ` w ) e. _V
49	48	elsn 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x ` w ) e. { 1o } <-> ( x ` w ) = 1o )
50	47, 49	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. y <-> ( x ` w ) e. { 1o } ) )
51	50	pm5.32da 673	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( w e. A /\ w e. y ) <-> ( w e. A /\ ( x ` w ) e. { 1o } ) ) )
52		ssel 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ A -> ( w e. y -> w e. A ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( w e. y -> w e. A ) )
54	53	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( w e. y <-> ( w e. A /\ w e. y ) ) )
55		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( x : A --> 2o -> x Fn A )
56		elpreima 6337	. . . . . . . . 9 |- ( x Fn A -> ( w e. ( `' x " { 1o } ) <-> ( w e. A /\ ( x ` w ) e. { 1o } ) ) )
57	28, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( w e. ( `' x " { 1o } ) <-> ( w e. A /\ ( x ` w ) e. { 1o } ) ) )
58	51, 54, 57	3bitr4d 300	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( w e. y <-> w e. ( `' x " { 1o } ) ) )
59	58	eqrdv 2620	. . . . . 6 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> y = ( `' x " { 1o } ) )
60	28, 59	jca 554	. . . . 5 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) -> ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) )
61		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> y = ( `' x " { 1o } ) )
62		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' x " { 1o } ) C_ dom x
63		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( x : A --> 2o -> dom x = A )
64	63	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> dom x = A )
65	62, 64	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> ( `' x " { 1o } ) C_ A )
66	61, 65	eqsstrd 3639	. . . . . 6 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> y C_ A )
67		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> y = ( `' x " { 1o } ) )
68	67	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. y <-> w e. ( `' x " { 1o } ) ) )
69	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> x Fn A )
70		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x Fn A /\ w e. A ) -> ( ( x ` w ) = 1o <-> w x 1o ) )
71	69, 70	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( ( x ` w ) = 1o <-> w x 1o ) )
72		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
73	72	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1o e. On -> ( w e. ( `' x " { 1o } ) <-> w x 1o ) )
74	12, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( `' x " { 1o } ) <-> w x 1o )
75	71, 74	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( ( x ` w ) = 1o <-> w e. ( `' x " { 1o } ) ) )
76	68, 75	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( w e. y <-> ( x ` w ) = 1o ) )
77	76	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) /\ w e. y ) -> ( x ` w ) = 1o )
78	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) /\ w e. y ) -> if ( w e. y , 1o , (/) ) = 1o )
79	77, 78	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) /\ w e. y ) -> ( x ` w ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
80		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x : A --> 2o /\ w e. A ) -> ( x ` w ) e. 2o )
81	80	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) e. 2o )
82		df2o3 7573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o = { (/) , 1o }
83	81, 82	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) e. { (/) , 1o } )
84	48	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x ` w ) e. { (/) , 1o } <-> ( ( x ` w ) = (/) \/ ( x ` w ) = 1o ) )
85	83, 84	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( ( x ` w ) = (/) \/ ( x ` w ) = 1o ) )
86	85	ord 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( -. ( x ` w ) = (/) -> ( x ` w ) = 1o ) )
87	86, 76	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( -. ( x ` w ) = (/) -> w e. y ) )
88	87	con1d 139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( -. w e. y -> ( x ` w ) = (/) ) )
89	88	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) /\ -. w e. y ) -> ( x ` w ) = (/) )
90	38	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) /\ -. w e. y ) -> if ( w e. y , 1o , (/) ) = (/) )
91	89, 90	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) /\ -. w e. y ) -> ( x ` w ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
92	79, 91	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
93	33	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) = if ( w e. y , 1o , (/) ) )
94	92, 93	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) = ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) )
95	94	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> A. w e. A ( x ` w ) = ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) )
96		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) : A --> 2o -> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) Fn A )
97	25, 96	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) Fn A
98		eqfnfv 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( x Fn A /\ ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) Fn A ) -> ( x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) <-> A. w e. A ( x ` w ) = ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) ) )
99	69, 97, 98	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> ( x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) <-> A. w e. A ( x ` w ) = ( ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ` w ) ) )
100	95, 99	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) )
101	66, 100	jca 554	. . . . 5 |- ( ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) -> ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) )
102	60, 101	impbii 199	. . . 4 |- ( ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) <-> ( x : A --> 2o /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) )
103	11, 102	syl6bbr 278	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) <-> ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) ) )
104		selpw 4165	. . . 4 |- ( y e. ~P A <-> y C_ A )
105	104	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( y e. ~P A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) <-> ( y C_ A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) )
106	103, 105	syl6bbr 278	. 2 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) /\ y = ( `' x " { 1o } ) ) <-> ( y e. ~P A /\ x = ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) ) )
107	1, 5, 7, 106	f1ocnvd 6884	1 |- ( A e. V -> ( F : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A /\ `' F = ( y e. ~P A |-> ( z e. A |-> if ( z e. y , 1o , (/) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-2o 7561  df-map 7859

This theorem is referenced by:  pw2f1o2  37605