Theorem r19.2uz 14091

Description: A version of r19.2z 4060 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
2		uzid 11702	. . . . . 6 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
3		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` j ) =/= (/) )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` j ) =/= (/) )
5		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( ZZ>= ` j ) =/= (/) )
7		r19.2z 4060	. . . 4 |- ( ( ( ZZ>= ` j ) =/= (/) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
8	6, 7	sylan 488	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
9	5	uztrn2 11705	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
10	9	ex 450	. . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. Z ) )
11	10	anim1d 588	. . . . 5 |- ( j e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) /\ ph ) -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
12	11	reximdv2 3014	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph ) )
13	12	imp 445	. . 3 |- ( ( j e. Z /\ E. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
14	8, 13	syldan 487	. 2 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> E. k e. Z ph )
15	14	rexlimiva 3028	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> E. k e. Z ph )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  lmcls  21106  1stccnp  21265  iscmet3lem1  23089  iscmet3lem2  23090  uniioombllem6  23356  ulmcau  24149  ulmbdd  24152  ulmcn  24153  ulmdvlem3  24156  iblulm  24161