Theorem iblulm 24161

Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm.f	|- ( ph -> F : Z --> L^1 )
itgulm.u	|- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
itgulm.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblulm	|- ( ph -> G e. L^1 )

Proof of Theorem iblulm

Dummy variables j k r x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		itgulm.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> L^1 )
4		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : Z --> L^1 -> F Fn Z )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn Z )
6		itgulm.u	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
7		ulmf2 24138	. . . . 5 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
9		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ x e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` k ) ` x ) )
10		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
11		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
13	1, 2, 8, 9, 10, 6, 12	ulmi 24140	. . 3 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 )
14	1	r19.2uz 14091	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 -> E. k e. Z A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 )
15	13, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. k e. Z A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 )
16		ulmcl 24135	. . . . . . 7 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
17	6, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G : S --> CC )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> G : S --> CC )
19	18	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> G = ( z e. S |-> ( G ` z ) ) )
20	8	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
21		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
23	22	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
25	18	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) e. CC )
26	24, 25	nncand 10397	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ) = ( z e. S |-> ( G ` z ) ) )
28	19, 27	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> G = ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ) )
29	23	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` k ) = ( z e. S |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) )
30	3	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. L^1 )
31	30	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` k ) e. L^1 )
32	29, 31	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( z e. S |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) e. L^1 )
33	24, 25	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) e. CC )
34		ulmscl 24133	. . . . . . . . 9 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> S e. _V )
35	6, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. _V )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> S e. _V )
37	36, 24, 25, 29, 19	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( F ` k ) oF - G ) = ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
38		iblmbf 23534	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) e. L^1 -> ( F ` k ) e. MblFn )
39	31, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` k ) e. MblFn )
40		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. L^1 -> x e. MblFn )
41	40	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10 |- L^1 C_ MblFn
42		fss 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : Z --> L^1 /\ L^1 C_ MblFn ) -> F : Z -->MblFn )
43	3, 41, 42	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : Z -->MblFn )
44	1, 2, 43, 6	mbfulm 24160	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. MblFn )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> G e. MblFn )
46	39, 45	mbfsub 23429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( F ` k ) oF - G ) e. MblFn )
47	37, 46	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) e. MblFn )
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) )
49	48, 33	dmmptd 6024	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = S )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( vol ` dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ) = ( vol ` S ) )
51		itgulm.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
52	51	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( vol ` S ) e. RR )
53	50, 52	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( vol ` dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ) e. RR )
54		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
55	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` k ) ` x ) e. CC )
56	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> G : S --> CC )
57	56	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
58	55, 57	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. CC )
59	58	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR )
60		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ 1 ) )
61	59, 54, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ 1 ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` x ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
64	62, 63	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
65		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. _V
66	64, 48, 65	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. S -> ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) = ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) = ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
69	68	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ 1 ) )
70	61, 69	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 ) )
71	70	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 -> A. x e. S ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 ) )
72	71	impr 649	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> A. x e. S ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 )
73	49	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 <-> A. x e. S ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 ) )
74	72, 73	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 )
75		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( r = 1 -> ( ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ r <-> ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 ) )
76	75	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( r = 1 -> ( A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ r <-> A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 ) )
77	76	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ 1 ) -> E. r e. RR A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ r )
78	54, 74, 77	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> E. r e. RR A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ r )
79		bddibl 23606	. . . . 5 |- ( ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) e. MblFn /\ ( vol ` dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ) e. RR /\ E. r e. RR A. x e. dom ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ( abs ` ( ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ` x ) ) <_ r ) -> ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
80	47, 53, 78, 79	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) e. L^1 )
81	24, 32, 33, 80	iblsub 23588	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> ( z e. S |-> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) ) e. L^1 )
82	28, 81	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ A. x e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < 1 ) ) -> G e. L^1 )
83	15, 82	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> G e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   ~~> uculm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  itgulm  24162  itgulm2  24163