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Theorem ulmbdd 24152
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmbdd.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmbdd.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmbdd.b |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
ulmbdd.u |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmbdd |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, k, z, F   k, G, x, z   ph, k, x, z   S, k, x, z   k, M, z   k, Z, x, z
Allowed substitution hint:   M( x)
Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmbdd.m . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 ulmbdd.f . . 3 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
4 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
5 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
6 ulmbdd.u . . 3 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
7 1rp 11836 . . . 4 |- 1 e. RR+
87a1i 11 . . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 24140 . 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
101r19.2uz 14091 . . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
11 ulmbdd.b . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
12 r19.26 3064 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) )
13 peano2re 10209 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( x + 1 ) e. RR )
15 ulmcl 24135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : S --> CC )
1716ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> G : S --> CC )
18 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> z e. S )
1917, 18ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
2019abscld 14175 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
213ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
22 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> k e. Z )
2321, 22ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
24 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2625, 18ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
2726abscld 14175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
2819, 26subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) e. CC )
2928abscld 14175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR )
3027, 29readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) e. RR )
3114adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
3226, 19pncan3d 10395 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
3332fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
3426, 28abstrid 14195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
3533, 34eqbrtrrd 4677 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
36 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> x e. RR )
37 1re 10039 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
39 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
4019, 26abssubd 14192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
41 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
4240, 41eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 )
43 ltle 10126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4429, 37, 43sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 )
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 10646 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( x + 1 ) )
4720, 30, 31, 35, 46letrd 10194 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) )
4847expr 643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
4948ralimdva 2962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
50 breq2 4657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5150ralbidv 2986 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5251rspcev 3309 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y )
5314, 49, 52syl6an 568 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5412, 53syl5bir 233 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5554expd 452 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5655rexlimdva 3031 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5711, 56mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
58 breq2 4657 . . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
5958ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6059cbvrexv 3172 . . . . 5 |- ( E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
6157, 60syl6ib 241 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6261rexlimdva 3031 . . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6310, 62syl5 34 . 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
649, 63mpd 15 1 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> uculm 24130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ulm 24131
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