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Theorem ulmcn 24153

Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ulmcn.z
ulmcn.m
ulmcn.f
ulmcn.u

**Assertion**
Ref	Expression
ulmcn

Proof of Theorem ulmcn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcn.u	. . 3
2		ulmcl 24135	. . 3
3	1, 2	syl 17	. 2
4		ulmcn.z	. . . . 5
5		ulmcn.m	. . . . . 6
6	5	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
7		ulmcn.f	. . . . . . 7
8		cncff 22696	. . . . . . . . 9
9		cnex 10017	. . . . . . . . . 10
10		cncfrss 22694	. . . . . . . . . . 11
11		ssexg 4804	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	10, 9, 11	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
13		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 $/\$
14	9, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . . . 9
15	8, 14	mpbird 247	. . . . . . . 8
16	15	ssriv 3607	. . . . . . 7
17		fss 6056	. . . . . . 7 $/\$
18	7, 16, 17	sylancl 694	. . . . . 6
19	18	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
20		eqidd 2623	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		eqidd 2623	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
22	1	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
23		rphalfcl 11858	. . . . . . 7
24	23	ad2antll 765	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	rphalfcld 11884	. . . . 5 $/\$ $/\$
26	4, 6, 19, 20, 21, 22, 25	ulmi 24140	. . . 4 $/\$ $/\$
27	4	r19.2uz 14091	. . . . 5
28		simplrl 800	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . 9
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . 8
35	28, 34	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
36	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37	36	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
38	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
39		cncfi 22697	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	37, 28, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
43	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	43, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	47, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	49, 51	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
55	47, 54	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	50, 56	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	55, 57	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		lt2add 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	53, 59, 62, 62, 63	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	60	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	53, 59	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	55, 49	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		lt2add 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	69, 71, 65, 65, 72	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75	74	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	57, 51	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	57, 49	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	53, 83	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	69, 71	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	57, 51, 49	abs3difd 14199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	53	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	87, 88	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	86, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	59, 71	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	57, 49, 55	abs3difd 14199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	57, 55	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	92, 94	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	83, 91, 53, 95	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	59	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	88, 97, 98	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	96, 99	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	81, 84, 85, 90, 100	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
103	81, 85, 76, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	101, 103	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	79, 104	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	73, 105	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	68, 107	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	64, 108	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	109	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	112	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	42, 115	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	an32s 846	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	reximdv 3016	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	41, 119	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	exp31 630	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	35, 121	mpdd 43	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	rexlimdva 3031	. . . . 5 $/\$ $/\$
124	27, 123	syl5 34	. . . 4 $/\$ $/\$
125	26, 124	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$
126	125	ralrimivva 2971	. 2
127		uzid 11702	. . . . . . 7
128	5, 127	syl 17	. . . . . 6
129	128, 4	syl6eleqr 2712	. . . . 5
130	7, 129	ffvelrnd 6360	. . . 4
131		cncfrss 22694	. . . 4
132	130, 131	syl 17	. . 3
133		ssid 3624	. . 3
134		elcncf2 22693	. . 3 $/\$ $/\$
135	132, 133, 134	sylancl 694	. 2 $/\$
136	3, 126, 135	mpbir2and 957	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cabs 13974

ccncf 22679

culm 24130

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-cncf 22681 df-ulm 24131

This theorem is referenced by: psercn2 24177 knoppcn 32494

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