Theorem iscmet3lem1 23089

Description: Lemma for iscmet3 23091. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iscmet3.2	|- J = ( MetOpen ` D )
iscmet3.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
iscmet3.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
iscmet3.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
iscmet3.9	|- ( ph -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
iscmet3.10	|- ( ph -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem1	|- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )

Distinct variable groups:   k, n, u, v, D   k, F, n, u, v   k, X, n   k, J, n   S, k, n, u, v   k, Z, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   J( v, u)   M( v, u)   X( v, u)   Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem1

Dummy variables j r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		iscmet3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	2	iscmet3lem3 23088	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
4	1, 3	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
5	2	r19.2uz 14091	. . . . 5 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> E. k e. Z ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. k e. Z ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
7		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k e. Z )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. Z )
9	8, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ( M ... k ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ( M ... k ) )
12		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
14		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> ( k e. Z -> A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) ) )
15	13, 8, 14	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( S ` n ) = ( S ` k ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` k ) e. ( S ` k ) ) )
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... k ) -> ( A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) ) )
19	11, 15, 18	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) )
20		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
21		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... j ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) )
22	9, 20, 21	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ( M ... j ) )
23	2	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. Z )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> j e. Z )
25		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( M ... k ) = ( M ... j ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` j ) e. ( S ` n ) ) )
28	25, 27	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) ) )
29	28	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) ) )
30	24, 13, 29	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) )
31	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` j ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` j ) e. ( S ` k ) ) )
32	31	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... j ) -> ( A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) -> ( F ` j ) e. ( S ` k ) ) )
33	22, 30, 32	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` j ) e. ( S ` k ) )
34		iscmet3.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
36		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
37	36, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ZZ )
39		rsp 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) -> ( k e. ZZ -> A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
40	35, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` k ) -> ( u D v ) = ( ( F ` k ) D v ) )
42	41	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` k ) -> ( ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( ( F ` k ) D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( F ` j ) -> ( ( F ` k ) D v ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) )
44	43	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` j ) -> ( ( ( F ` k ) D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
45	42, 44	rspc2va 3323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` k ) e. ( S ` k ) /\ ( F ` j ) e. ( S ` k ) ) /\ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
46	19, 33, 40, 45	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
47		iscmet3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
49		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> X )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> X )
51		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Z --> X /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
52	50, 7, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. X )
53		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Z --> X /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. X )
54	50, 23, 53	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` j ) e. X )
55		metcl 22137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR )
56	48, 52, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR )
57		1rp 11836	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
58		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
60		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
61	59, 38, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
62	61	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
63		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
64	63	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> r e. RR )
65		lttr 10114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
66	56, 62, 64, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
67	46, 66	mpand 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
68	67	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
69	68	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
70	69	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. k e. Z ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
71	6, 70	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r )
72	71	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r )
73		metxmet 22139	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
74	47, 73	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
75		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
76		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
77	2, 74, 1, 75, 76, 49	iscauf 23078	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. r e. RR+ E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
78	72, 77	mpbird 247	1 |- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   Caucca 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cau 23054

This theorem is referenced by:  iscmet3  23091