MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ulmdvlem3 24156
Description: Lemma for ulmdv 24157. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmdv.s |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
ulmdv.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmdv.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m X ) )
ulmdv.g |- ( ph -> G : X --> CC )
ulmdv.l |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
ulmdv.u |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H )
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem3 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z ( S _D G ) ( H ` z ) )
Distinct variable groups:   z, k, F   z, G   z, H   k, M   ph, k, z   S, k, z   k, X, z   k, Z, z
Allowed substitution hints:   G( k)   H( k)   M( z)
Proof of Theorem ulmdvlem3
Dummy variables j m n s u v w x y r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmdv.m . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
2 uzid 11702 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
31, 2syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4 ulmdv.z . . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
53, 4syl6eleqr 2712 . . . 4 |- ( ph -> M e. Z )
6 ulmdv.s . . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
7 ulmdv.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m X ) )
8 ulmdv.g . . . . . . 7 |- ( ph -> G : X --> CC )
9 ulmdv.l . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
10 ulmdv.u . . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H )
114, 6, 1, 7, 8, 9, 10ulmdvlem2 24155 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> dom ( S _D ( F ` k ) ) = X )
12 recnprss 23668 . . . . . . . . 9 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
136, 12syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ CC )
1413adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> S C_ CC )
157ffvelrnda 6359 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m X ) )
16 elmapi 7879 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m X ) -> ( F ` k ) : X --> CC )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) : X --> CC )
18 dvbsss 23666 . . . . . . . 8 |- dom ( S _D ( F ` k ) ) C_ S
1911, 18syl6eqssr 3656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> X C_ S )
20 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
21 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2214, 17, 19, 20, 21dvbssntr 23664 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> dom ( S _D ( F ` k ) ) C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) )
2311, 22eqsstr3d 3640 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) )
2423ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ph -> A. k e. Z X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) )
25 biidd 252 . . . . 5 |- ( k = M -> ( X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) <-> X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) ) )
2625rspcv 3305 . . . 4 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) -> X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) ) )
275, 24, 26sylc 65 . . 3 |- ( ph -> X C_ ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) )
2827sselda 3603 . 2 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) )
29 ulmcl 24135 . . . . 5 |- ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H -> H : X --> CC )
3010, 29syl 17 . . . 4 |- ( ph -> H : X --> CC )
3130ffvelrnda 6359 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( H ` z ) e. CC )
32 rphalfcl 11858 . . . . . . . 8 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
3332adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
34 rphalfcl 11858 . . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ )
3533, 34syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ )
36 ulmrel 24132 . . . . . . . . . 10 |- Rel ( ~~> u ` X )
37 releldm 5358 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel ( ~~> u ` X ) /\ ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) e. dom ( ~~> u ` X ) )
3836, 10, 37sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) e. dom ( ~~> u ` X ) )
39 ulmscl 24133 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H -> X e. _V )
4010, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. _V )
41 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S _D ( F ` k ) ) e. _V
4241rgenw 2924 . . . . . . . . . . . 12 |- A. k e. Z ( S _D ( F ` k ) ) e. _V
43 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) = ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) )
4443fnmpt 6020 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. Z ( S _D ( F ` k ) ) e. _V -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) Fn Z )
4542, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) Fn Z )
46 ulmf2 24138 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) Fn Z /\ ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
4745, 10, 46syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
484, 1, 40, 47ulmcau2 24150 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) e. dom ( ~~> u ` X ) <-> A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s ) )
4938, 48mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s )
504uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
5150ad2ant2lr 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> n e. Z )
52 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
5352oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( S _D ( F ` k ) ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
54 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S _D ( F ` n ) ) e. _V
5553, 43, 54fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
5651, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
5756fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) )
58 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` n ) )
594uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
6051, 58, 59syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> m e. Z )
61 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
6261oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> ( S _D ( F ` k ) ) = ( S _D ( F ` m ) ) )
63 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S _D ( F ` m ) ) e. _V
6462, 43, 63fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) = ( S _D ( F ` m ) ) )
6560, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) = ( S _D ( F ` m ) ) )
6665fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) = ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) )
6757, 66oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) = ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) )
6867fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) )
6968breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s ) )
7069ralbidv 2986 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` j ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( A. x e. X ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s <-> A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s ) )
71702ralbidva 2988 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s <-> A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s ) )
7271rexbidva 3049 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s <-> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s ) )
7372ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` x ) - ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` m ) ` x ) ) ) < s <-> A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s ) )
7449, 73mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s )
7574ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s )
76 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
77762ralbidv 2989 . . . . . . . 8 |- ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s <-> A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
7877rexralbidv 3058 . . . . . . 7 |- ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s <-> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
7978rspcv 3305 . . . . . 6 |- ( ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ -> ( A. s e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < s -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
8035, 75, 79sylc 65 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) )
811ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
8253fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) )
83 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) = ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) )
84 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. _V
8582, 83, 84fvmpt 6282 . . . . . . 7 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) ` n ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) )
8685adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) ` n ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) )
8747ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
88 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> z e. X )
89 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
904, 89eqeltri 2697 . . . . . . . . 9 |- Z e. _V
9190mptex 6486 . . . . . . . 8 |- ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) e. _V
9291a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) e. _V )
9355adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
9493fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` z ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) )
9594, 86eqtr4d 2659 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) ` z ) = ( ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) ` n ) )
9610ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H )
974, 81, 87, 88, 92, 95, 96ulmclm 24141 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( k e. Z |-> ( ( S _D ( F ` k ) ) ` z ) ) ~~> ( H ` z ) )
984, 81, 33, 86, 97climi2 14242 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) )
994rexanuz2 14089 . . . . . . 7 |- ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) <-> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) )
1004r19.2uz 14091 . . . . . . 7 |- ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. n e. Z ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) )
10199, 100sylbir 225 . . . . . 6 |- ( ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. n e. Z ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) )
10235adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ )
103 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> z e. X )
10487ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) e. ( CC ^m X ) )
10593, 104eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( S _D ( F ` n ) ) e. ( CC ^m X ) )
106 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S _D ( F ` n ) ) e. ( CC ^m X ) -> ( S _D ( F ` n ) ) : X --> CC )
107 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S _D ( F ` n ) ) : X --> CC -> dom ( S _D ( F ` n ) ) = X )
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> dom ( S _D ( F ` n ) ) = X )
109103, 108eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> z e. dom ( S _D ( F ` n ) ) )
1106ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> S e. { RR , CC } )
111 dvfg 23670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. { RR , CC } -> ( S _D ( F ` n ) ) : dom ( S _D ( F ` n ) ) --> CC )
112 ffun 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S _D ( F ` n ) ) : dom ( S _D ( F ` n ) ) --> CC -> Fun ( S _D ( F ` n ) ) )
113 funfvbrb 6330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun ( S _D ( F ` n ) ) -> ( z e. dom ( S _D ( F ` n ) ) <-> z ( S _D ( F ` n ) ) ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) )
114110, 111, 112, 1134syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( z e. dom ( S _D ( F ` n ) ) <-> z ( S _D ( F ` n ) ) ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) )
115109, 114mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> z ( S _D ( F ` n ) ) ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) )
116 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) = ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) )
117110, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> S C_ CC )
1187ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m X ) )
119118ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m X ) )
120 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m X ) -> ( F ` n ) : X --> CC )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : X --> CC )
12219ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. Z X C_ S )
123 biidd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = M -> ( X C_ S <-> X C_ S ) )
124123rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z X C_ S -> X C_ S ) )
1255, 122, 124sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X C_ S )
126125ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> X C_ S )
12720, 21, 116, 117, 121, 126eldv 23662 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( z ( S _D ( F ` n ) ) ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) <-> ( z e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) ) ) )
128115, 127mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( z e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) ) )
129128simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) )
130125adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X C_ S )
13113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> S C_ CC )
132130, 131sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X C_ CC )
133132ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> X C_ CC )
134121, 133, 103dvlem 23660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) /\ y e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) e. CC )
135134, 116fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) : ( X \ { z } ) --> CC )
136133ssdifssd 3748 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( X \ { z } ) C_ CC )
137133, 103sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> z e. CC )
138135, 136, 137ellimc3 23643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) <-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) ) ) )
139129, 138mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) e. CC /\ A. s e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) ) )
140139simprd 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> A. s e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) )
141 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> ( ( F ` n ) ` y ) = ( ( F ` n ) ` v ) )
142141oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) = ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) )
143 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( y - z ) = ( v - z ) )
144142, 143oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = v -> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) = ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) )
145 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) e. _V
146144, 116, 145fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) = ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) )
147146oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) = ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) )
148147fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) )
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) -> s = ( ( r / 2 ) / 2 ) )
150148, 149breqan12rd 4670 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ v e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s <-> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
151150imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ v e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) <-> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
152151ralbidva 2985 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) -> ( A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) <-> A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
153152rexbidv 3052 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( ( r / 2 ) / 2 ) -> ( E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) <-> E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
154153rspcv 3305 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r / 2 ) / 2 ) e. RR+ -> ( A. s e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < s ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) )
155102, 140, 154sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
156155adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
157 anass 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) <-> ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) ) )
158 df-3an 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) <-> ( ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) )
159 anass 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) <-> ( ph /\ ( z e. X /\ r e. RR+ ) ) )
1609ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A. z e. X ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
161 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = s -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` s ) )
162161mpteq2dv 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = s -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) = ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` s ) ) )
163 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = s -> ( G ` z ) = ( G ` s ) )
164162, 163breq12d 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = s -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) <-> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` s ) ) ~~> ( G ` s ) ) )
165164rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. z e. X ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) /\ s e. X ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` s ) ) ~~> ( G ` s ) )
166160, 165sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` s ) ) ~~> ( G ` s ) )
167 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> z e. X )
168 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> r e. RR+ )
169 simprr3 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) )
170 simplll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> u e. RR+ )
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> u e. RR+ )
172 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> w e. RR+ )
173169, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> w e. RR+ )
174 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) )
175169, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) )
176175simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> u < w )
177175simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X )
178 simpr3 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) )
179169, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) )
180179simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( v - z ) ) < u )
181 simprr1 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> n e. Z )
182 simprr2 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) )
183182simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) )
184182simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) )
185 simpr1 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> v e. ( X \ { z } ) )
186169, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> v e. ( X \ { z } ) )
187186eldifad 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> v e. X )
188179simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> v =/= z )
189 simpr2 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
190169, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
191188, 190mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( v - z ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) )
1924, 6, 1, 7, 8, 166, 10, 167, 168, 171, 173, 176, 177, 180, 181, 183, 184, 187, 188, 191ulmdvlem1 24154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( ( z e. X /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
193192anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( z e. X /\ r e. RR+ ) ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
194159, 193sylanb 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
195158, 194sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
196195anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
197196anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) /\ w e. RR+ ) ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
198157, 197sylanb 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) /\ ( v e. ( X \ { z } ) /\ ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) /\ ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r )
1991983exp2 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) -> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) ) )
200199imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) /\ v e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) -> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
201 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = v -> ( G ` y ) = ( G ` v ) )
202201oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) = ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) )
203202, 143oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) = ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) )
204 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) = ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) )
205 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) e. _V
206203, 204, 205fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) = ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) )
207206oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) = ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) )
208207fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) )
209208breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r <-> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
210209imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( X \ { z } ) -> ( ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) <-> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) /\ v e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) <-> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` v ) - ( G ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
212200, 211sylibrd 249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) /\ v e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) -> ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
213212ralimdva 2962 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) -> A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
214213impr 649 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
215214an32s 846 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( u e. RR+ /\ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) ) ) -> A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
216 cnxmet 22576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
217 xmetres2 22166 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
218216, 131, 217sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
219218ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
22021cnfldtop 22587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
221 resttop 20964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S e. { RR , CC } ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
222220, 6, 221sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
22321cnfldtopon 22586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
224 resttopon 20965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
225223, 13, 224sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
226 toponuni 20719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
228125, 227sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
229 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
230229ntrss2 20861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
231222, 228, 230syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) C_ X )
232231, 27eqssd 3620 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) = X )
233229isopn3 20870 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) -> ( X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) = X ) )
234222, 228, 233syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) = X ) )
235232, 234mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
236 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) )
23721cnfldtopn 22585 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
238 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) )
239236, 237, 238metrest 22329 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) )
240216, 13, 239sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) )
241235, 240eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) )
242241adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X e. ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) )
243242ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> X e. ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) )
24488ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> z e. X )
245 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> w e. RR+ )
246238mopni3 22299 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) /\ X e. ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) /\ z e. X ) /\ w e. RR+ ) -> E. u e. RR+ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) )
247219, 243, 244, 245, 246syl31anc 1329 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> E. u e. RR+ ( u < w /\ ( z ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) u ) C_ X ) )
248215, 247reximddv 3018 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ ( w e. RR+ /\ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` n ) ` v ) - ( ( F ` n ) ` z ) ) / ( v - z ) ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) ) ) ) -> E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
249156, 248rexlimddv 3035 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
250249rexlimdvaa 3032 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. n e. Z ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
251101, 250syl5 34 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` n ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( r / 2 ) / 2 ) /\ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` z ) - ( H ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) )
25280, 98, 251mp2and 715 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
253252ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. r e. RR+ E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) )
2548adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> G : X --> CC )
255 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
256254, 132, 255dvlem 23660 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ y e. ( X \ { z } ) ) -> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) e. CC )
257256, 204fmptd 6385 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) : ( X \ { z } ) --> CC )
258132ssdifssd 3748 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( X \ { z } ) C_ CC )
259132, 255sseldd 3604 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. CC )
260257, 258, 259ellimc3 23643 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( H ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) <-> ( ( H ` z ) e. CC /\ A. r e. RR+ E. u e. RR+ A. v e. ( X \ { z } ) ( ( v =/= z /\ ( abs ` ( v - z ) ) < u ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) ` v ) - ( H ` z ) ) ) < r ) ) ) )
26131, 253, 260mpbir2and 957 . 2 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( H ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) )
26220, 21, 204, 131, 254, 130eldv 23662 . 2 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( z ( S _D G ) ( H ` z ) <-> ( z e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ ( H ` z ) e. ( ( y e. ( X \ { z } ) |-> ( ( ( G ` y ) - ( G ` z ) ) / ( y - z ) ) ) lim CC z ) ) ) )
26328, 261, 262mpbir2and 957 1 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z ( S _D G ) ( H ` z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  ℂfldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   lim CC climc 23626   _D cdv 23627   ~~> uculm 24130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131
This theorem is referenced by:  ulmdv  24157
  Copyright terms: Public domain W3C validator