Theorem r1fin 8636

Description: The first om levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1fin	|- ( A e. om -> ( R1 ` A ) e. Fin )

Proof of Theorem r1fin

Dummy variables n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3 |- ( n = (/) -> ( R1 ` n ) = ( R1 ` (/) ) )
2	1	eleq1d 2686	. 2 |- ( n = (/) -> ( ( R1 ` n ) e. Fin <-> ( R1 ` (/) ) e. Fin ) )
3		fveq2 6191	. . 3 |- ( n = m -> ( R1 ` n ) = ( R1 ` m ) )
4	3	eleq1d 2686	. 2 |- ( n = m -> ( ( R1 ` n ) e. Fin <-> ( R1 ` m ) e. Fin ) )
5		fveq2 6191	. . 3 |- ( n = suc m -> ( R1 ` n ) = ( R1 ` suc m ) )
6	5	eleq1d 2686	. 2 |- ( n = suc m -> ( ( R1 ` n ) e. Fin <-> ( R1 ` suc m ) e. Fin ) )
7		fveq2 6191	. . 3 |- ( n = A -> ( R1 ` n ) = ( R1 ` A ) )
8	7	eleq1d 2686	. 2 |- ( n = A -> ( ( R1 ` n ) e. Fin <-> ( R1 ` A ) e. Fin ) )
9		r10 8631	. . 3 |- ( R1 ` (/) ) = (/)
10		0fin 8188	. . 3 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2697	. 2 |- ( R1 ` (/) ) e. Fin
12		r1funlim 8629	. . . . . . . . 9 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )
13	12	simpri 478	. . . . . . . 8 |- Lim dom R1
14		limomss 7070	. . . . . . . 8 |- ( Lim dom R1 -> om C_ dom R1 )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- om C_ dom R1
16	15	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( m e. om -> m e. dom R1 )
17		r1sucg 8632	. . . . . 6 |- ( m e. dom R1 -> ( R1 ` suc m ) = ~P ( R1 ` m ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( m e. om -> ( R1 ` suc m ) = ~P ( R1 ` m ) )
19	18	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( m e. om -> ( ( R1 ` suc m ) e. Fin <-> ~P ( R1 ` m ) e. Fin ) )
20		pwfi 8261	. . . 4 |- ( ( R1 ` m ) e. Fin <-> ~P ( R1 ` m ) e. Fin )
21	19, 20	syl6rbbr 279	. . 3 |- ( m e. om -> ( ( R1 ` m ) e. Fin <-> ( R1 ` suc m ) e. Fin ) )
22	21	biimpd 219	. 2 |- ( m e. om -> ( ( R1 ` m ) e. Fin -> ( R1 ` suc m ) e. Fin ) )
23	2, 4, 6, 8, 11, 22	finds 7092	1 |- ( A e. om -> ( R1 ` A ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   dom cdm 5114   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   omcom 7065   Fincfn 7955   R1cr1 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-r1 8627

This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  9062  ackbij2  9065