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Theorem ackbij2lem2 9062

Description: Lemma for ackbij2 9065. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ackbij.f
ackbij.g

**Assertion**
Ref	Expression
ackbij2lem2

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ackbij2lem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3
2		fveq2 6191	. . 3
3	2	fveq2d 6195	. . 3
4	1, 2, 3	f1oeq123d 6133	. 2
5		fveq2 6191	. . 3
6		fveq2 6191	. . 3
7	6	fveq2d 6195	. . 3
8	5, 6, 7	f1oeq123d 6133	. 2
9		fveq2 6191	. . 3
10		fveq2 6191	. . 3
11	10	fveq2d 6195	. . 3
12	9, 10, 11	f1oeq123d 6133	. 2
13		fveq2 6191	. . 3
14		fveq2 6191	. . 3
15	14	fveq2d 6195	. . 3
16	13, 14, 15	f1oeq123d 6133	. 2
17		f1o0 6173	. . 3
18		0ex 4790	. . . . . 6
19	18	rdg0 7517	. . . . 5
20		f1oeq1 6127	. . . . 5
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4
22		r10 8631	. . . . 5
23	22	fveq2i 6194	. . . . . 6
24		card0 8784	. . . . . 6
25	23, 24	eqtri 2644	. . . . 5
26		f1oeq23 6130	. . . . 5 $/\$
27	22, 25, 26	mp2an 708	. . . 4
28	21, 27	bitri 264	. . 3
29	17, 28	mpbir 221	. 2
30		ackbij.f	. . . . . . . . . 10
31	30	ackbij1lem17 9058	. . . . . . . . 9
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8
33		r1fin 8636	. . . . . . . . . 10
34		ficardom 8787	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9
36		ackbij2lem1 9041	. . . . . . . . 9
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8
38		f1ores 6151	. . . . . . . 8 $/\$
39	32, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . 7
40	30	ackbij1b 9061	. . . . . . . . . 10
41	35, 40	syl 17	. . . . . . . . 9
42		ficardid 8788	. . . . . . . . . 10
43		pwen 8133	. . . . . . . . . 10
44		carden2b 8793	. . . . . . . . . 10
45	33, 42, 43, 44	4syl 19	. . . . . . . . 9
46	41, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
47	46	f1oeq3d 6134	. . . . . . 7
48	39, 47	mpbid 222	. . . . . 6
49	48	adantr 481	. . . . 5 $/\$
50		f1opw 6889	. . . . . 6
51	50	adantl 482	. . . . 5 $/\$
52		f1oco 6159	. . . . 5 $/\$
53	49, 51, 52	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
54		frsuc 7532	. . . . . . . . 9
55		peano2 7086	. . . . . . . . . 10
56	55	fvresd 6208	. . . . . . . . 9
57		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
59		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11
60		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . 13
62		imaeq1 5461	. . . . . . . . . . . . . 14
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
64	61, 63	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . 12
65		ackbij.g	. . . . . . . . . . . 12
66	59	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . 14
67	66	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . 13
68	67	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12
69	64, 65, 68	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11
70	59, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
71	58, 70	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
72	54, 56, 71	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8
73	72	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
74		f1odm 6141	. . . . . . . . . . 11
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
76	75	pweqd 4163	. . . . . . . . 9 $/\$
77	76	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 $/\$
78		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
80	78, 79	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10
81	80	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
82		f1ofn 6138	. . . . . . . . . 10
83	53, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
84		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14
85	51, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
86	85	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
87	86	fvresd 6208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
88		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
90	59	imaex 7104	. . . . . . . . . . . . . 14
91	88, 89, 90	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	87, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
95		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96	85, 95	sylan 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . 13
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
99		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
100	98, 79, 99	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
102	94, 96, 101	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
103	81, 83, 102	eqfnfvd 6314	. . . . . . . 8 $/\$
104	77, 103	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
105	73, 104	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$
106		f1oeq1 6127	. . . . . 6
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 $/\$
108		nnon 7071	. . . . . . . 8
109		r1suc 8633	. . . . . . . 8
110	108, 109	syl 17	. . . . . . 7
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . 7
112		f1oeq23 6130	. . . . . . 7 $/\$
113	110, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . 6
114	113	adantr 481	. . . . 5 $/\$
115	107, 114	bitrd 268	. . . 4 $/\$
116	53, 115	mpbird 247	. . 3 $/\$
117	116	ex 450	. 2
118	4, 8, 12, 16, 29, 117	finds 7092	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

con0 5723

csuc 5725

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888

com 7065

crdg 7505

cen 7952

cfn 7955

cr1 8625

ccrd 8761

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-r1 8627 df-card 8765 df-cda 8990

This theorem is referenced by: ackbij2lem3 9063 ackbij2 9065

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