Theorem restcld 20976

Description: A closed set of a subspace topology is a closed set of the original topology intersected with the subset. (Contributed by FL, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
restcld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restcld	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A e. ( Clsd ` ( J ↾t S ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, J   x, S   x, X

Proof of Theorem restcld

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 |- ( S C_ X -> S C_ X )
2		restcld.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	topopn 20711	. . . . 5 |- ( J e. Top -> X e. J )
4		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( S C_ X /\ X e. J ) -> S e. _V )
5	1, 3, 4	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S e. _V )
6		resttop 20964	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
7	5, 6	syldan 487	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
8		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
9	8	iscld 20831	. . 3 |- ( ( J ↾t S ) e. Top -> ( A e. ( Clsd ` ( J ↾t S ) ) <-> ( A C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( U. ( J ↾t S ) \ A ) e. ( J ↾t S ) ) ) )
10	7, 9	syl 17	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A e. ( Clsd ` ( J ↾t S ) ) <-> ( A C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( U. ( J ↾t S ) \ A ) e. ( J ↾t S ) ) ) )
11	2	restuni 20966	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
12	11	sseq2d 3633	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A C_ S <-> A C_ U. ( J ↾t S ) ) )
13	11	difeq1d 3727	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S \ A ) = ( U. ( J ↾t S ) \ A ) )
14	13	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) <-> ( U. ( J ↾t S ) \ A ) e. ( J ↾t S ) ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) <-> ( A C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( U. ( J ↾t S ) \ A ) e. ( J ↾t S ) ) ) )
16		elrest 16088	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) <-> E. o e. J ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) )
17	5, 16	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) <-> E. o e. J ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) )
18	17	anbi2d 740	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) <-> ( A C_ S /\ E. o e. J ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) ) )
19	2	opncld 20837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
20	19	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ o e. J ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
21	20	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) )
23		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X i^i S ) = ( S i^i X )
24		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ X <-> ( S i^i X ) = S )
25	24	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ X -> ( S i^i X ) = S )
26	23, 25	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ X -> ( X i^i S ) = S )
27	26	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> ( X i^i S ) = S )
28	27	difeq1d 3727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> ( ( X i^i S ) \ o ) = ( S \ o ) )
29		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S \ A ) = ( o i^i S ) -> ( S \ ( S \ A ) ) = ( S \ ( o i^i S ) ) )
30		difindi 3881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S \ ( o i^i S ) ) = ( ( S \ o ) u. ( S \ S ) )
31		difid 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S \ S ) = (/)
32	31	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S \ o ) u. ( S \ S ) ) = ( ( S \ o ) u. (/) )
33		un0 3967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S \ o ) u. (/) ) = ( S \ o )
34	30, 32, 33	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S \ ( o i^i S ) ) = ( S \ o )
35	29, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S \ A ) = ( o i^i S ) -> ( S \ ( S \ A ) ) = ( S \ o ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> ( S \ ( S \ A ) ) = ( S \ o ) )
37		dfss4 3858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ S <-> ( S \ ( S \ A ) ) = A )
38	37	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ S -> ( S \ ( S \ A ) ) = A )
39	38	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> ( S \ ( S \ A ) ) = A )
40	28, 36, 39	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> A = ( ( X i^i S ) \ o ) )
41	23	difeq1i 3724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X i^i S ) \ o ) = ( ( S i^i X ) \ o )
42		indif2 3870	. . . . . . . . . 10 |- ( S i^i ( X \ o ) ) = ( ( S i^i X ) \ o )
43		incom 3805	. . . . . . . . . 10 |- ( S i^i ( X \ o ) ) = ( ( X \ o ) i^i S )
44	41, 42, 43	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( X i^i S ) \ o ) = ( ( X \ o ) i^i S )
45	40, 44	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> A = ( ( X \ o ) i^i S ) )
46		ineq1 3807	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( X \ o ) -> ( x i^i S ) = ( ( X \ o ) i^i S ) )
47	46	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( X \ o ) -> ( A = ( x i^i S ) <-> A = ( ( X \ o ) i^i S ) ) )
48	47	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X \ o ) e. ( Clsd ` J ) /\ A = ( ( X \ o ) i^i S ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) )
49	22, 45, 48	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) /\ ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) )
50	49	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) /\ o e. J ) -> ( ( S \ A ) = ( o i^i S ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )
51	50	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ A C_ S ) -> ( E. o e. J ( S \ A ) = ( o i^i S ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )
52	51	expimpd 629	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( A C_ S /\ E. o e. J ( S \ A ) = ( o i^i S ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )
53	18, 52	sylbid 230	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )
54		difindi 3881	. . . . . . . . . 10 |- ( S \ ( x i^i S ) ) = ( ( S \ x ) u. ( S \ S ) )
55	31	uneq2i 3764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ x ) u. ( S \ S ) ) = ( ( S \ x ) u. (/) )
56		un0 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ x ) u. (/) ) = ( S \ x )
57	54, 55, 56	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 |- ( S \ ( x i^i S ) ) = ( S \ x )
58		difin2 3890	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( S \ x ) = ( ( X \ x ) i^i S ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S \ x ) = ( ( X \ x ) i^i S ) )
60	57, 59	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S \ ( x i^i S ) ) = ( ( X \ x ) i^i S ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S \ ( x i^i S ) ) = ( ( X \ x ) i^i S ) )
62		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
63	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> S e. _V )
64	2	cldopn 20835	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ x ) e. J )
65	64	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X \ x ) e. J )
66		elrestr 16089	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V /\ ( X \ x ) e. J ) -> ( ( X \ x ) i^i S ) e. ( J ↾t S ) )
67	62, 63, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( X \ x ) i^i S ) e. ( J ↾t S ) )
68	61, 67	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S \ ( x i^i S ) ) e. ( J ↾t S ) )
69		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( x i^i S ) C_ S
70	68, 69	jctil 560	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( x i^i S ) C_ S /\ ( S \ ( x i^i S ) ) e. ( J ↾t S ) ) )
71		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( A = ( x i^i S ) -> ( A C_ S <-> ( x i^i S ) C_ S ) )
72		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( A = ( x i^i S ) -> ( S \ A ) = ( S \ ( x i^i S ) ) )
73	72	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( A = ( x i^i S ) -> ( ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) <-> ( S \ ( x i^i S ) ) e. ( J ↾t S ) ) )
74	71, 73	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( A = ( x i^i S ) -> ( ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) <-> ( ( x i^i S ) C_ S /\ ( S \ ( x i^i S ) ) e. ( J ↾t S ) ) ) )
75	70, 74	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A = ( x i^i S ) -> ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) ) )
76	75	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) -> ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) ) )
77	53, 76	impbid 202	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( A C_ S /\ ( S \ A ) e. ( J ↾t S ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )
78	10, 15, 77	3bitr2d 296	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A e. ( Clsd ` ( J ↾t S ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) A = ( x i^i S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  restcldi  20977  restcldr  20978  restcls  20985  connsubclo  21227  cldllycmp  21298