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Theorem restcls 20985
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 |- X = U. J
restcls.2 |- K = ( J ↾t Y )
Assertion
Ref Expression
restcls |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Proof of Theorem restcls
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
2 sstr 3611 . . . . . . . 8 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
32ancoms 469 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
433adant1 1079 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
5 restcls.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
65clscld 20851 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
71, 4, 6syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
8 eqid 2622 . . . . 5 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y )
9 ineq1 3807 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( x i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
109eqeq2d 2632 . . . . . 6 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) )
1110rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
127, 8, 11sylancl 694 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
13 restcls.2 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
1413fveq2i 6194 . . . . . 6 |- ( Clsd ` K ) = ( Clsd ` ( J ↾t Y ) )
1514eleq2i 2693 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
165restcld 20976 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
17163adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1815, 17syl5bb 272 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1912, 18mpbird 247 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) )
205sscls 20860 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
211, 4, 20syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
22 simp3 1063 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ Y )
2321, 22ssind 3837 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
24 eqid 2622 . . . 4 |- U. K = U. K
2524clsss2 20876 . . 3 |- ( ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) /\ S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2619, 23, 25syl2anc 693 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2713fveq2i 6194 . . . . . 6 |- ( cls ` K ) = ( cls ` ( J ↾t Y ) )
2827fveq1i 6192 . . . . 5 |- ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
29 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( Y C_ X -> Y C_ X )
305topopn 20711 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
31 ssexg 4804 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
3229, 30, 31syl2anr 495 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
33 resttop 20964 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
3432, 33syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
35343adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
365restuni 20966 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
37363adant3 1081 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
3822, 37sseqtrd 3641 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
39 eqid 2622 . . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
4039clscld 20851 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4135, 38, 40syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4228, 41syl5eqel 2705 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
435restcld 20976 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
44433adant3 1081 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
4542, 44mpbid 222 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) )
4613, 34syl5eqel 2705 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
47463adant3 1081 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
4813unieqi 4445 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
4948eqcomi 2631 . . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
5049sscls 20860 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5147, 38, 50syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5251adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
53 inss1 3833 . . . . . . 7 |- ( x i^i Y ) C_ x
54 sseq1 3626 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x <-> ( x i^i Y ) C_ x ) )
5553, 54mpbiri 248 . . . . . 6 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5655ad2antll 765 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5752, 56sstrd 3613 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ x )
585clsss2 20876 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
5958adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
60 ssrin 3838 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
62 sseq2 3627 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) ) )
6361, 62syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6463expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6564com23 86 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6665impr 649 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6757, 66mpd 15 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6845, 67rexlimddv 3035 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6926, 68eqssd 3620 1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825
This theorem is referenced by:  restlp  20987  resscdrg  23154
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