Theorem resthauslem 21167

Description: Lemma for resthaus 21172 and similar theorems. If the topological property A is preserved under injective preimages, then property A passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resthauslem.1	|- ( J e. A -> J e. Top )
resthauslem.2	|- ( ( J e. A /\ ( _I |` ( S i^i U. J ) ) : ( S i^i U. J ) -1-1-> ( S i^i U. J ) /\ ( _I |` ( S i^i U. J ) ) e. ( ( J ↾t S ) Cn J ) ) -> ( J ↾t S ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
resthauslem	|- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( J ↾t S ) e. A )

Proof of Theorem resthauslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> J e. A )
2		f1oi 6174	. . 3 |- ( _I |` ( S i^i U. J ) ) : ( S i^i U. J ) -1-1-onto-> ( S i^i U. J )
3		f1of1 6136	. . 3 |- ( ( _I |` ( S i^i U. J ) ) : ( S i^i U. J ) -1-1-onto-> ( S i^i U. J ) -> ( _I |` ( S i^i U. J ) ) : ( S i^i U. J ) -1-1-> ( S i^i U. J ) )
4	2, 3	mp1i 13	. 2 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( _I |` ( S i^i U. J ) ) : ( S i^i U. J ) -1-1-> ( S i^i U. J ) )
5		inss2 3834	. . . . 5 |- ( S i^i U. J ) C_ U. J
6		resabs1 5427	. . . . 5 |- ( ( S i^i U. J ) C_ U. J -> ( ( _I |` U. J ) |` ( S i^i U. J ) ) = ( _I |` ( S i^i U. J ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( _I |` U. J ) |` ( S i^i U. J ) ) = ( _I |` ( S i^i U. J ) )
8		resthauslem.1	. . . . . . . 8 |- ( J e. A -> J e. Top )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> J e. Top )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
11	10	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
12	9, 11	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
13		idcn 21061	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( _I |` U. J ) e. ( J Cn J ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( _I |` U. J ) e. ( J Cn J ) )
15	10	cnrest 21089	. . . . 5 |- ( ( ( _I |` U. J ) e. ( J Cn J ) /\ ( S i^i U. J ) C_ U. J ) -> ( ( _I |` U. J ) |` ( S i^i U. J ) ) e. ( ( J ↾t ( S i^i U. J ) ) Cn J ) )
16	14, 5, 15	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( ( _I |` U. J ) |` ( S i^i U. J ) ) e. ( ( J ↾t ( S i^i U. J ) ) Cn J ) )
17	7, 16	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( _I |` ( S i^i U. J ) ) e. ( ( J ↾t ( S i^i U. J ) ) Cn J ) )
18	10	restin 20970	. . . 4 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( J ↾t S ) = ( J ↾t ( S i^i U. J ) ) )
19	18	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( ( J ↾t S ) Cn J ) = ( ( J ↾t ( S i^i U. J ) ) Cn J ) )
20	17, 19	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( _I |` ( S i^i U. J ) ) e. ( ( J ↾t S ) Cn J ) )
21		resthauslem.2	. 2 |- ( ( J e. A /\ ( _I |` ( S i^i U. J ) ) : ( S i^i U. J ) -1-1-> ( S i^i U. J ) /\ ( _I |` ( S i^i U. J ) ) e. ( ( J ↾t S ) Cn J ) ) -> ( J ↾t S ) e. A )
22	1, 4, 20, 21	syl3anc 1326	1 |- ( ( J e. A /\ S e. V ) -> ( J ↾t S ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   _I cid 5023   |` cres 5116   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  restt0  21170  restt1  21171  resthaus  21172