Theorem ruclem2 14961

Description: Lemma for ruc 14972. Ordering property for the input to D. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	|- ( ph -> F : NN --> RR )
ruc.2	|- ( ph -> D = ( x e. ( RR X. RR ) , y e. RR |-> [_ ( ( ( 1st ` x ) + ( 2nd ` x ) ) / 2 ) / m ]_ if ( m < y , <. ( 1st ` x ) , m >. , <. ( ( m + ( 2nd ` x ) ) / 2 ) , ( 2nd ` x ) >. ) ) )
ruclem1.3	|- ( ph -> A e. RR )
ruclem1.4	|- ( ph -> B e. RR )
ruclem1.5	|- ( ph -> M e. RR )
ruclem1.6	|- X = ( 1st ` ( <. A , B >. D M ) )
ruclem1.7	|- Y = ( 2nd ` ( <. A , B >. D M ) )
ruclem2.8	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ruclem2	|- ( ph -> ( A <_ X /\ X < Y /\ Y <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, x, y   m, F, x, y   m, M, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, m)   D( x, y, m)   X( x, y, m)   Y( x, y, m)

Proof of Theorem ruclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	leidd 10594	. . . 4 |- ( ph -> A <_ A )
3		ruclem1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
4	1, 3	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + B ) e. RR )
5	4	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
6	5, 3	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) e. RR )
7	6	rehalfcld 11279	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) e. RR )
8		ruclem2.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
9		avglt1 11270	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
10	1, 3, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
11	8, 10	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> A < ( ( A + B ) / 2 ) )
12		avglt2 11271	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < B ) )
13	1, 3, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < B ) )
14	8, 13	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) < B )
15		avglt1 11270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) )
16	5, 3, 15	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) )
17	14, 16	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) < ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) )
18	1, 5, 7, 11, 17	lttrd 10198	. . . . 5 |- ( ph -> A < ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) )
19	1, 7, 18	ltled 10185	. . . 4 |- ( ph -> A <_ ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) )
20		breq2 4657	. . . . 5 |- ( A = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) -> ( A <_ A <-> A <_ if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) ) )
21		breq2 4657	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) -> ( A <_ ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) <-> A <_ if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) ) )
22	20, 21	ifboth 4124	. . . 4 |- ( ( A <_ A /\ A <_ ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) -> A <_ if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) )
23	2, 19, 22	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> A <_ if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) )
24		ruc.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : NN --> RR )
25		ruc.2	. . . . 5 |- ( ph -> D = ( x e. ( RR X. RR ) , y e. RR |-> [_ ( ( ( 1st ` x ) + ( 2nd ` x ) ) / 2 ) / m ]_ if ( m < y , <. ( 1st ` x ) , m >. , <. ( ( m + ( 2nd ` x ) ) / 2 ) , ( 2nd ` x ) >. ) ) )
26		ruclem1.5	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
27		ruclem1.6	. . . . 5 |- X = ( 1st ` ( <. A , B >. D M ) )
28		ruclem1.7	. . . . 5 |- Y = ( 2nd ` ( <. A , B >. D M ) )
29	24, 25, 1, 3, 26, 27, 28	ruclem1 14960	. . . 4 |- ( ph -> ( ( <. A , B >. D M ) e. ( RR X. RR ) /\ X = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) /\ Y = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) ) )
30	29	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> X = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) )
31	23, 30	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ph -> A <_ X )
32		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) < M -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) = A )
33		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) < M -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) = ( ( A + B ) / 2 ) )
34	32, 33	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) < M -> ( if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) < if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
35	11, 34	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < M -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) < if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) ) )
36		avglt2 11271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < B <-> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) < B ) )
37	5, 3, 36	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < B <-> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) < B ) )
38	14, 37	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) < B )
39		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. ( ( A + B ) / 2 ) < M -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) = ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) )
40		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. ( ( A + B ) / 2 ) < M -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) = B )
41	39, 40	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( -. ( ( A + B ) / 2 ) < M -> ( if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) < if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) <-> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) < B ) )
42	38, 41	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ph -> ( -. ( ( A + B ) / 2 ) < M -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) < if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) ) )
43	35, 42	pm2.61d 170	. . 3 |- ( ph -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , A , ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + B ) / 2 ) ) < if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) )
44	29	simp3d 1075	. . 3 |- ( ph -> Y = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) )
45	43, 30, 44	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ph -> X < Y )
46	5, 3, 14	ltled 10185	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B )
47	3	leidd 10594	. . . 4 |- ( ph -> B <_ B )
48		breq1 4656	. . . . 5 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ B <-> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) <_ B ) )
49		breq1 4656	. . . . 5 |- ( B = if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) -> ( B <_ B <-> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) <_ B ) )
50	48, 49	ifboth 4124	. . . 4 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ B /\ B <_ B ) -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) <_ B )
51	46, 47, 50	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> if ( ( ( A + B ) / 2 ) < M , ( ( A + B ) / 2 ) , B ) <_ B )
52	44, 51	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> Y <_ B )
53	31, 45, 52	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( A <_ X /\ X < Y /\ Y <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   [_csb 3533   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079

This theorem is referenced by:  ruclem8  14966  ruclem9  14967