Theorem sadcom 15185

Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadcom	|- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = ( B sadd A ) )

Proof of Theorem sadcom

Dummy variables k c m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hadcoma 1538	. . . 4 |- (hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) <-> hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> (hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) <-> hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) ) )
3	2	rabbidv 3189	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } = { k e. NN0 | hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
4		simpl 473	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> A C_ NN0 )
5		simpr 477	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> B C_ NN0 )
6		eqid 2622	. . 3 |- seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
7	4, 5, 6	sadfval 15174	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
8		cadcoma 1551	. . . . . . 7 |- (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) <-> cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( c e. 2o /\ m e. NN0 ) -> (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) <-> cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) ) )
10	9	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( ( c e. 2o /\ m e. NN0 ) -> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) = if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
11	10	mpt2eq3ia 6720	. . . 4 |- ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) )
12		seqeq2 12805	. . . 4 |- ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) = ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) -> seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. B , m e. A , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
14	5, 4, 13	sadfval 15174	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( B sadd A ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. B , k e. A , (/) e. ( seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` k ) ) } )
15	3, 7, 14	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( A C_ NN0 /\ B C_ NN0 ) -> ( A sadd B ) = ( B sadd A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483  haddwhad 1532  caddwcad 1545   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   0cc0 9936   1c1 9937   - cmin 10266   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   sadd csad 15142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293  df-seq 12802  df-sad 15173

This theorem is referenced by:  sadid2  15191