Theorem saddisjlem 15186

Description: Lemma for sadadd 15189. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	|- ( ph -> A C_ NN0 )
saddisj.2	|- ( ph -> B C_ NN0 )
saddisj.3	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
saddisjlem.c	|- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
saddisjlem.3	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
saddisjlem	|- ( ph -> ( N e. ( A sadd B ) <-> N e. ( A u. B ) ) )

Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m   n, N

Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)   N( m, c)

Proof of Theorem saddisjlem

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN0 )
2		saddisj.2	. . 3 |- ( ph -> B C_ NN0 )
3		saddisjlem.c	. . 3 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
4		saddisjlem.3	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
5	1, 2, 3, 4	sadval 15178	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( A sadd B ) <-> hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( C ` x ) = ( C ` 0 ) )
7	6	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (/) e. ( C ` x ) <-> (/) e. ( C ` 0 ) ) )
8	7	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( -. (/) e. ( C ` x ) <-> -. (/) e. ( C ` 0 ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> -. (/) e. ( C ` x ) ) <-> ( ph -> -. (/) e. ( C ` 0 ) ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( C ` x ) = ( C ` k ) )
11	10	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( (/) e. ( C ` x ) <-> (/) e. ( C ` k ) ) )
12	11	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( -. (/) e. ( C ` x ) <-> -. (/) e. ( C ` k ) ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( ph -> -. (/) e. ( C ` x ) ) <-> ( ph -> -. (/) e. ( C ` k ) ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( C ` x ) = ( C ` ( k + 1 ) ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( (/) e. ( C ` x ) <-> (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) ) )
16	15	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( -. (/) e. ( C ` x ) <-> -. (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) ) )
17	16	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> -. (/) e. ( C ` x ) ) <-> ( ph -> -. (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( C ` x ) = ( C ` N ) )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( (/) e. ( C ` x ) <-> (/) e. ( C ` N ) ) )
20	19	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( -. (/) e. ( C ` x ) <-> -. (/) e. ( C ` N ) ) )
21	20	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ph -> -. (/) e. ( C ` x ) ) <-> ( ph -> -. (/) e. ( C ` N ) ) ) )
22	1, 2, 3	sadc0 15176	. . . . 5 |- ( ph -> -. (/) e. ( C ` 0 ) )
23		noel 3919	. . . . . . . . 9 |- -. k e. (/)
24	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> A C_ NN0 )
25	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> B C_ NN0 )
26		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> k e. NN0 )
27	24, 25, 3, 26	sadcp1 15177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> ( (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) <-> cadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) ) )
28		cad0 1556	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. (/) e. ( C ` k ) -> (cadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> (cadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
30		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
31		saddisj.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
34	30, 33	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> ( ( k e. A /\ k e. B ) <-> k e. (/) ) )
35	27, 29, 34	3bitrd 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> ( (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) <-> k e. (/) ) )
36	23, 35	mtbiri 317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. (/) e. ( C ` k ) ) -> -. (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) )
37	36	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -. (/) e. ( C ` k ) -> -. (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) ) )
38	37	expcom 451	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( -. (/) e. ( C ` k ) -> -. (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) ) ) )
39	38	a2d 29	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> -. (/) e. ( C ` k ) ) -> ( ph -> -. (/) e. ( C ` ( k + 1 ) ) ) ) )
40	9, 13, 17, 21, 22, 39	nn0ind 11472	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> -. (/) e. ( C ` N ) ) )
41	4, 40	mpcom 38	. . 3 |- ( ph -> -. (/) e. ( C ` N ) )
42		hadrot 1540	. . . 4 |- (hadd ( (/) e. ( C ` N ) , N e. A , N e. B ) <-> hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) )
43		had0 1543	. . . 4 |- ( -. (/) e. ( C ` N ) -> (hadd ( (/) e. ( C ` N ) , N e. A , N e. B ) <-> ( N e. A \/_ N e. B ) ) )
44	42, 43	syl5bbr 274	. . 3 |- ( -. (/) e. ( C ` N ) -> (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A \/_ N e. B ) ) )
45	41, 44	syl 17	. 2 |- ( ph -> (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) <-> ( N e. A \/_ N e. B ) ) )
46		noel 3919	. . . . 5 |- -. N e. (/)
47		elin 3796	. . . . . 6 |- ( N e. ( A i^i B ) <-> ( N e. A /\ N e. B ) )
48	31	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N e. ( A i^i B ) <-> N e. (/) ) )
49	47, 48	syl5bbr 274	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N e. A /\ N e. B ) <-> N e. (/) ) )
50	46, 49	mtbiri 317	. . . 4 |- ( ph -> -. ( N e. A /\ N e. B ) )
51		xor2 1470	. . . . 5 |- ( ( N e. A \/_ N e. B ) <-> ( ( N e. A \/ N e. B ) /\ -. ( N e. A /\ N e. B ) ) )
52	51	rbaib 947	. . . 4 |- ( -. ( N e. A /\ N e. B ) -> ( ( N e. A \/_ N e. B ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) ) )
53	50, 52	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( N e. A \/_ N e. B ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) ) )
54		elun 3753	. . 3 |- ( N e. ( A u. B ) <-> ( N e. A \/ N e. B ) )
55	53, 54	syl6bbr 278	. 2 |- ( ph -> ( ( N e. A \/_ N e. B ) <-> N e. ( A u. B ) ) )
56	5, 45, 55	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( N e. ( A sadd B ) <-> N e. ( A u. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/_ wxo 1464   = wceq 1483  haddwhad 1532  caddwcad 1545   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   sadd csad 15142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sad 15173

This theorem is referenced by:  saddisj  15187