Theorem srglmhm 18535

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 18604. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	|- B = ( Base ` R )
srglmhm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, X   x, .x.

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 18509	. . . 4 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
2	1, 1	jca 554	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
3	2	adantr 481	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4		srglmhm.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		srglmhm.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	srgcl 18512	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
9	7, 8	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
10		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
12	4, 11, 5	srgdi 18516	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
13	10, 12	sylan2br 493	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
14	13	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
15	4, 11	srgacl 18524	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
16	15	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
17	16	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B )
18		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
19		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) e. _V
20	18, 8, 19	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( ( a ( +g ` R ) b ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
21	17, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( X .x. ( a ( +g ` R ) b ) ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( X .x. x ) = ( X .x. a ) )
23		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( X .x. a ) e. _V
24	22, 8, 23	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( a e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) = ( X .x. a ) )
25		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = b -> ( X .x. x ) = ( X .x. b ) )
26		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( X .x. b ) e. _V
27	25, 8, 26	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( b e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) = ( X .x. b ) )
28	24, 27	oveqan12d 6669	. . . . . 6 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
29	28	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) = ( ( X .x. a ) ( +g ` R ) ( X .x. b ) ) )
30	14, 21, 29	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
31	30	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
33	4, 32	srg0cl 18519	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B )
34	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
35		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
36		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( X .x. ( 0g ` R ) ) e. _V
37	35, 8, 36	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( 0g ` R ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
38	34, 37	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( X .x. ( 0g ` R ) ) )
39	4, 5, 32	srgrz 18526	. . . 4 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
40	38, 39	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
41	9, 31, 40	3jca 1242	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) )
42	4, 4, 11, 11, 32, 32	ismhm 17337	. 2 |- ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
43	3, 41, 42	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R MndHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  sgsummulcl  18538