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Theorem tgcmp 21204
Description: A topology generated by a basis is compact iff open covers drawn from the basis have finite subcovers. (See also alexsub 21849, which further specializes to subbases, assuming the ultrafilter lemma.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgcmp |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
Distinct variable groups:   y, z, B   y, X, z
Proof of Theorem tgcmp
Dummy variables t f u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- U. ( topGen ` B ) = U. ( topGen ` B )
21iscmp 21191 . . . 4 |- ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> ( ( topGen ` B ) e. Top /\ A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. z ) ) )
32simprbi 480 . . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Comp -> A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. z ) )
4 unitg 20771 . . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases -> U. ( topGen ` B ) = U. B )
5 eqtr3 2643 . . . . . . . 8 |- ( ( U. ( topGen ` B ) = U. B /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` B ) = X )
64, 5sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` B ) = X )
76eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( U. ( topGen ` B ) = U. y <-> X = U. y ) )
86eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( U. ( topGen ` B ) = U. z <-> X = U. z ) )
98rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. z <-> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
107, 9imbi12d 334 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( U. ( topGen ` B ) = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. z ) <-> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
1110ralbidv 2986 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. z ) <-> A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
12 bastg 20770 . . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
1312adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
14 sspwb 4917 . . . . . 6 |- ( B C_ ( topGen ` B ) <-> ~P B C_ ~P ( topGen ` B ) )
1513, 14sylib 208 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ~P B C_ ~P ( topGen ` B ) )
16 ssralv 3666 . . . . 5 |- ( ~P B C_ ~P ( topGen ` B ) -> ( A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
1715, 16syl 17 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
1811, 17sylbid 230 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( A. y e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. z ) -> A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
193, 18syl5 34 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` B ) e. Comp -> A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
20 elpwi 4168 . . . . 5 |- ( u e. ~P ( topGen ` B ) -> u C_ ( topGen ` B ) )
21 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> X = U. u )
22 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> u C_ ( topGen ` B ) )
2322sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ t e. u ) -> t e. ( topGen ` B ) )
2423adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( t e. u /\ y e. t ) ) -> t e. ( topGen ` B ) )
25 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( t e. u /\ y e. t ) ) -> y e. t )
26 tg2 20769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. ( topGen ` B ) /\ y e. t ) -> E. w e. B ( y e. w /\ w C_ t ) )
2724, 25, 26syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( t e. u /\ y e. t ) ) -> E. w e. B ( y e. w /\ w C_ t ) )
2827expr 643 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ t e. u ) -> ( y e. t -> E. w e. B ( y e. w /\ w C_ t ) ) )
2928reximdva 3017 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( E. t e. u y e. t -> E. t e. u E. w e. B ( y e. w /\ w C_ t ) ) )
30 eluni2 4440 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. U. u <-> E. t e. u y e. t )
31 elunirab 4448 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } <-> E. w e. B ( y e. w /\ E. t e. u w C_ t ) )
32 r19.42v 3092 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. t e. u ( y e. w /\ w C_ t ) <-> ( y e. w /\ E. t e. u w C_ t ) )
3332rexbii 3041 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w e. B E. t e. u ( y e. w /\ w C_ t ) <-> E. w e. B ( y e. w /\ E. t e. u w C_ t ) )
34 rexcom 3099 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w e. B E. t e. u ( y e. w /\ w C_ t ) <-> E. t e. u E. w e. B ( y e. w /\ w C_ t ) )
3531, 33, 343bitr2i 288 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } <-> E. t e. u E. w e. B ( y e. w /\ w C_ t ) )
3629, 30, 353imtr4g 285 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( y e. U. u -> y e. U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } ) )
3736ssrdv 3609 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> U. u C_ U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
3821, 37eqsstrd 3639 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> X C_ U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
39 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . 12 |- { w e. B | E. t e. u w C_ t } C_ B
4039unissi 4461 . . . . . . . . . . 11 |- U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } C_ U. B
41 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> X = U. B )
4240, 41syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } C_ X )
4338, 42eqssd 3620 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> X = U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
44 elpw2g 4827 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. TopBases -> ( { w e. B | E. t e. u w C_ t } e. ~P B <-> { w e. B | E. t e. u w C_ t } C_ B ) )
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( { w e. B | E. t e. u w C_ t } e. ~P B <-> { w e. B | E. t e. u w C_ t } C_ B ) )
4639, 45mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> { w e. B | E. t e. u w C_ t } e. ~P B )
47 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> U. y = U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
4847eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> ( X = U. y <-> X = U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } ) )
49 pweq 4161 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> ~P y = ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
5049ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> ( ~P y i^i Fin ) = ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) )
5150rexeqdv 3145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> ( E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z <-> E. z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) X = U. z ) )
5248, 51imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> ( ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) <-> ( X = U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> E. z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) X = U. z ) ) )
5352rspcv 3305 . . . . . . . . . 10 |- ( { w e. B | E. t e. u w C_ t } e. ~P B -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> ( X = U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> E. z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) X = U. z ) ) )
5446, 53syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> ( X = U. { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> E. z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) X = U. z ) ) )
5543, 54mpid 44 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> E. z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) X = U. z ) )
56 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) <-> ( z C_ { w e. B | E. t e. u w C_ t } /\ z e. Fin ) )
5756simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) -> z e. Fin )
5857ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) -> z e. Fin )
5956simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) -> z C_ { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
6059ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) -> z C_ { w e. B | E. t e. u w C_ t } )
61 ssrab 3680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ { w e. B | E. t e. u w C_ t } <-> ( z C_ B /\ A. w e. z E. t e. u w C_ t ) )
6261simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ { w e. B | E. t e. u w C_ t } -> A. w e. z E. t e. u w C_ t )
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) -> A. w e. z E. t e. u w C_ t )
64 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( f ` w ) -> ( w C_ t <-> w C_ ( f ` w ) ) )
6564ac6sfi 8204 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Fin /\ A. w e. z E. t e. u w C_ t ) -> E. f ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) )
6658, 63, 65syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) -> E. f ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) )
67 frn 6053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : z --> u -> ran f C_ u )
6867ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> ran f C_ u )
69 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : z --> u -> f Fn z )
70 dffn4 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn z <-> f : z -onto-> ran f )
7169, 70sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : z --> u -> f : z -onto-> ran f )
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) -> f : z -onto-> ran f )
73 fofi 8252 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. Fin /\ f : z -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
7458, 72, 73syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> ran f e. Fin )
75 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ( ~P u i^i Fin ) <-> ( ran f C_ u /\ ran f e. Fin ) )
7668, 74, 75sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> ran f e. ( ~P u i^i Fin ) )
77 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> X = U. z )
78 uniiun 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. z = U_ w e. z w
79 ss2iun 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. z w C_ ( f ` w ) -> U_ w e. z w C_ U_ w e. z ( f ` w ) )
8078, 79syl5eqss 3649 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. z w C_ ( f ` w ) -> U. z C_ U_ w e. z ( f ` w ) )
8180ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> U. z C_ U_ w e. z ( f ` w ) )
82 fniunfv 6505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn z -> U_ w e. z ( f ` w ) = U. ran f )
8369, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : z --> u -> U_ w e. z ( f ` w ) = U. ran f )
8483ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> U_ w e. z ( f ` w ) = U. ran f )
8581, 84sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> U. z C_ U. ran f )
8677, 85eqsstrd 3639 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> X C_ U. ran f )
8768unissd 4462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> U. ran f C_ U. u )
8821ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> X = U. u )
8987, 88sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> U. ran f C_ X )
9086, 89eqssd 3620 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> X = U. ran f )
91 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ran f -> U. v = U. ran f )
9291eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ran f -> ( X = U. v <-> X = U. ran f ) )
9392rspcev 3309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P u i^i Fin ) /\ X = U. ran f ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v )
9476, 90, 93syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) /\ ( f : z --> u /\ A. w e. z w C_ ( f ` w ) ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v )
9566, 94exlimddv 1863 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) /\ ( z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) /\ X = U. z ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v )
9695rexlimdvaa 3032 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( E. z e. ( ~P { w e. B | E. t e. u w C_ t } i^i Fin ) X = U. z -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) )
9755, 96syld 47 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ X = U. u ) ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) )
9897expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> ( X = U. u -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
9998com23 86 . . . . 5 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> ( X = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
10020, 99sylan2 491 . . . 4 |- ( ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) /\ u e. ~P ( topGen ` B ) ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> ( X = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
101100ralrimdva 2969 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( X = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
102 tgcl 20773 . . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
103102adantr 481 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
1041iscmp 21191 . . . . . 6 |- ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> ( ( topGen ` B ) e. Top /\ A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. v ) ) )
105104baib 944 . . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. v ) ) )
106103, 105syl 17 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. v ) ) )
1076eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( U. ( topGen ` B ) = U. u <-> X = U. u ) )
1086eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( U. ( topGen ` B ) = U. v <-> X = U. v ) )
109108rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( E. v e. ( ~P u i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. v <-> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) )
110107, 109imbi12d 334 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( U. ( topGen ` B ) = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. v ) <-> ( X = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
111110ralbidv 2986 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( U. ( topGen ` B ) = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) U. ( topGen ` B ) = U. v ) <-> A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( X = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
112106, 111bitrd 268 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> A. u e. ~P ( topGen ` B ) ( X = U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. v ) ) )
113101, 112sylibrd 249 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> ( topGen ` B ) e. Comp ) )
11419, 113impbid 202 1 |- ( ( B e. TopBases /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` B ) e. Comp <-> A. y e. ~P B ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   Fincfn 7955   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   Compccmp 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cmp 21190
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