Theorem tgrpopr 36035

Description: The group operation of the translation group is function composition. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	|- H = ( LHyp ` K )
tgrpset.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tgrpset.g	|- G = ( ( TGrp ` K ) ` W )
tgrp.o	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
tgrpopr	|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> .+ = ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, K   T, f, g   f, W, g

Allowed substitution hints:   .+ ( f, g)   G( f, g)   H( f, g)   V( f, g)

Proof of Theorem tgrpopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		tgrpset.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		tgrpset.g	. . . 4 |- G = ( ( TGrp ` K ) ` W )
4	1, 2, 3	tgrpset 36033	. . 3 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> G = { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } )
5	4	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } ) )
6		tgrp.o	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
7		fvex 6201	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V
8	2, 7	eqeltri 2697	. . . 4 |- T e. _V
9	8, 8	mpt2ex 7247	. . 3 |- ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) e. _V
10		eqid 2622	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. }
11	10	grpplusg 15992	. . 3 |- ( ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) e. _V -> ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } )
13	5, 6, 12	3eqtr4g 2681	1 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> .+ = ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   o. ccom 5118   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TGrpctgrp 36030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tgrp 36031

This theorem is referenced by:  tgrpov  36036