Theorem tsmsfbas 21931

Description: The collection of all sets of the form F ( z ) = { y e. S | z C_ y }, which can be read as the set of all finite subsets of A which contain z as a subset, for each finite subset z of A, form a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsfbas.s	|- S = ( ~P A i^i Fin )
tsmsfbas.f	|- F = ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } )
tsmsfbas.l	|- L = ran F
tsmsfbas.a	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
tsmsfbas	|- ( ph -> L e. ( fBas ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   y, z, S

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   A( y)   F( y, z)   L( y, z)   W( y, z)

Proof of Theorem tsmsfbas

Dummy variables u a v b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsfbas.a	. 2 |- ( ph -> A e. W )
2		elex 3212	. 2 |- ( A e. W -> A e. _V )
3		tsmsfbas.l	. . 3 |- L = ran F
4		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { y e. S | z C_ y } C_ S
5		tsmsfbas.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( ~P A i^i Fin )
6		pwexg 4850	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ~P A e. _V )
7		inex1g 4801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
9	5, 8	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> S e. _V )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> S e. _V )
11		elpw2g 4827	. . . . . . . 8 |- ( S e. _V -> ( { y e. S | z C_ y } e. ~P S <-> { y e. S | z C_ y } C_ S ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> ( { y e. S | z C_ y } e. ~P S <-> { y e. S | z C_ y } C_ S ) )
13	4, 12	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> { y e. S | z C_ y } e. ~P S )
14		tsmsfbas.f	. . . . . 6 |- F = ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } )
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( A e. _V -> F : S --> ~P S )
16		frn 6053	. . . . 5 |- ( F : S --> ~P S -> ran F C_ ~P S )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( A e. _V -> ran F C_ ~P S )
18		0ss 3972	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ A
19		0fin 8188	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. Fin
20		elfpw 8268	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) e. Fin ) )
21	18, 19, 20	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
22	21, 5	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 |- (/) e. S
23		0ss 3972	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ y
24	23	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. y e. S (/) C_ y
25		rabid2 3118	. . . . . . . . . 10 |- ( S = { y e. S | z C_ y } <-> A. y e. S z C_ y )
26		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( z C_ y <-> (/) C_ y ) )
27	26	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( z = (/) -> ( A. y e. S z C_ y <-> A. y e. S (/) C_ y ) )
28	25, 27	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( S = { y e. S | z C_ y } <-> A. y e. S (/) C_ y ) )
29	28	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. S /\ A. y e. S (/) C_ y ) -> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } )
30	22, 24, 29	mp2an 708	. . . . . . 7 |- E. z e. S S = { y e. S | z C_ y }
31	14	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( S e. _V -> ( S e. ran F <-> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } ) )
32	9, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( S e. ran F <-> E. z e. S S = { y e. S | z C_ y } ) )
33	30, 32	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> S e. ran F )
34		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( S e. ran F -> ran F =/= (/) )
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ran F =/= (/) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> z e. S )
37		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- z C_ z
38		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( z C_ y <-> z C_ z ) )
39	38	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. S /\ z C_ z ) -> E. y e. S z C_ y )
40	36, 37, 39	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> E. y e. S z C_ y )
41		rabn0 3958	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. S | z C_ y } =/= (/) <-> E. y e. S z C_ y )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> { y e. S | z C_ y } =/= (/) )
43	42	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> (/) =/= { y e. S | z C_ y } )
44	43	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ z e. S ) -> -. (/) = { y e. S | z C_ y } )
45	44	nrexdv 3001	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> -. E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } )
46		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
47	14	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran F <-> E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ran F <-> E. z e. S (/) = { y e. S | z C_ y } )
49	45, 48	sylnibr 319	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> -. (/) e. ran F )
50		df-nel 2898	. . . . . 6 |- ( (/) e/ ran F <-> -. (/) e. ran F )
51	49, 50	sylibr 224	. . . . 5 |- ( A e. _V -> (/) e/ ran F )
52		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( u C_ A /\ u e. Fin ) )
53	52	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u C_ A )
54	53, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. S -> u C_ A )
55		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( v C_ A /\ v e. Fin ) )
56	55	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v C_ A )
57	56, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. S -> v C_ A )
58	54, 57	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u C_ A /\ v C_ A ) )
59		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u C_ A /\ v C_ A ) <-> ( u u. v ) C_ A )
60	58, 59	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) C_ A )
61	52	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. Fin )
62	61, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. S -> u e. Fin )
63	55	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v e. Fin )
64	63, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. S -> v e. Fin )
65		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( u u. v ) e. Fin )
66	62, 64, 65	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) e. Fin )
67		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( u u. v ) C_ A /\ ( u u. v ) e. Fin ) )
68	60, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u u. v ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
70	69, 5	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u u. v ) e. S )
71		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
72		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( u u. v ) -> ( a C_ y <-> ( u u. v ) C_ y ) )
73	72	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( u u. v ) -> { y e. S | a C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( u u. v ) -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } <-> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) )
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u u. v ) e. S /\ { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) -> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
76	70, 71, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
77	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> S e. _V )
78		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. _V -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V )
80		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z C_ y <-> a C_ y ) )
81	80	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | a C_ y } )
82	81	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( a e. S |-> { y e. S | a C_ y } )
83	14, 82	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( a e. S |-> { y e. S | a C_ y } )
84	83	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F <-> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } ) )
85	79, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F <-> E. a e. S { y e. S | ( u u. v ) C_ y } = { y e. S | a C_ y } ) )
86	76, 85	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F )
87		pwidg 4173	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. _V -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
88	79, 87	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
89		inelcm 4032	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ran F /\ { y e. S | ( u u. v ) C_ y } e. ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) -> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
90	86, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
91	90	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) )
92		rabexg 4812	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> { y e. S | u C_ y } e. _V )
93	9, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { y e. S | u C_ y } e. _V )
94	93	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> A. u e. S { y e. S | u C_ y } e. _V )
95		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = u -> ( z C_ y <-> u C_ y ) )
96	95	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | u C_ y } )
97	96	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( u e. S |-> { y e. S | u C_ y } )
98	14, 97	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- F = ( u e. S |-> { y e. S | u C_ y } )
99		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) )
100		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u C_ y /\ v C_ y ) }
101		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u C_ y /\ v C_ y ) <-> ( u u. v ) C_ y )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> ( ( u C_ y /\ v C_ y ) <-> ( u u. v ) C_ y ) )
103	102	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. S | ( u C_ y /\ v C_ y ) } = { y e. S | ( u u. v ) C_ y }
104	100, 103	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. S | u C_ y } i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u u. v ) C_ y }
105	99, 104	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
106	105	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) = ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } )
107	106	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) = ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) )
108	107	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
109	108	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( a = { y e. S | u C_ y } -> ( A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
110	98, 109	ralrnmpt 6368	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. S { y e. S | u C_ y } e. _V -> ( A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
111	94, 110	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) <-> A. u e. S A. v e. S ( ran F i^i ~P { y e. S | ( u u. v ) C_ y } ) =/= (/) ) )
112	91, 111	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) )
113		rabexg 4812	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> { y e. S | v C_ y } e. _V )
114	9, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { y e. S | v C_ y } e. _V )
115	114	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> A. v e. S { y e. S | v C_ y } e. _V )
116		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z C_ y <-> v C_ y ) )
117	116	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = v -> { y e. S | z C_ y } = { y e. S | v C_ y } )
118	117	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. S |-> { y e. S | z C_ y } ) = ( v e. S |-> { y e. S | v C_ y } )
119	14, 118	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- F = ( v e. S |-> { y e. S | v C_ y } )
120		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( a i^i b ) = ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) )
121	120	pweqd 4163	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ~P ( a i^i b ) = ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) )
122	121	ineq2d 3814	. . . . . . . . . 10 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) = ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) )
123	122	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( b = { y e. S | v C_ y } -> ( ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
124	119, 123	ralrnmpt 6368	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. S { y e. S | v C_ y } e. _V -> ( A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
125	115, 124	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
126	125	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) <-> A. a e. ran F A. v e. S ( ran F i^i ~P ( a i^i { y e. S | v C_ y } ) ) =/= (/) ) )
127	112, 126	mpbird 247	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) )
128	35, 51, 127	3jca 1242	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) )
129		isfbas 21633	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( ran F e. ( fBas ` S ) <-> ( ran F C_ ~P S /\ ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) ) ) )
130	9, 129	syl 17	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ran F e. ( fBas ` S ) <-> ( ran F C_ ~P S /\ ( ran F =/= (/) /\ (/) e/ ran F /\ A. a e. ran F A. b e. ran F ( ran F i^i ~P ( a i^i b ) ) =/= (/) ) ) ) )
131	17, 128, 130	mpbir2and 957	. . 3 |- ( A e. _V -> ran F e. ( fBas ` S ) )
132	3, 131	syl5eqel 2705	. 2 |- ( A e. _V -> L e. ( fBas ` S ) )
133	1, 2, 132	3syl 18	1 |- ( ph -> L e. ( fBas ` S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fbas 19743

This theorem is referenced by:  eltsms  21936  haustsms  21939  tsmscls  21941  tsmsmhm  21949  tsmsadd  21950